Видела много аналогичных вопросов, но все еще не понятно. Например нужно найти изоморфные и не изоморфные среди групп: Z4 x V4, Q8 x Z2, D4 x Z2, Z8 + Z2 (прямая сумма). Чем отличается прямая сумма от прямого произведения?

задан 21 Янв 18:07

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь все группы имеют порядок 16. Прямая сумма от прямого произведения отличается только обозначениями. Иногда бывает удобно применять аддитивную запись. Но я буду для удобства везде брать прямое произведение.

Первая и последняя группы абелева, остальные неабелевы. То и другое будем анализировать по отдельности.

Вспомним, что V4 изоморфна Z2xZ2. В группе Z4xZ2xZ2 нет элементов порядка 8, а в Z8xZ2 они есть. Эти группы не изоморфны.

Теперь сравним две неабелевы группы. Понятно, что Q8 не изоморфна D4, но после домножения на Z2 всё могло измениться. Найдём у получившихся двух групп существенные отличия. Вспомним, что в Q8 есть всего один элемент порядка 2 (это -1), а элементов, удовлетворяющих уравнению X^2=1, будет два. В группе D4 таковых будет шесть: это все элементы кроме поворотов на углы 90 и -90 градусов. Поэтому число решений уравнения X^2=1 в прямом произведении Q8xZ2 будет 4, а в группе D4xZ2 у того же уравнения решений 12. Значит, группы не изоморфны.

ссылка

отвечен 21 Янв 19:06

Спасибо! А есть ли критерий, с помощью которого можно определить есть ли элемент некоторого порядка в группе? Например, правильно ли я понимаю, что Z100 x Z2 не изоморфно Z50 x Z4, т.к. там нет элемента порядка 100?

(21 Янв 20:02) pentarra11
1

@pentarra11: если про порядки элементов множителей мы всё знаем, то достаточно замечания, что порядок элемента (x,y) прямого произведения равен НОК порядков элементов x и y. Можно также подсчитать общее количество элементов заданного порядка.

Для конечных абелевых групп критерием изоморфизма является совпадение примарных компонент. Так, Z100 можно подразложить как Z25xZ4 в соответствии с каноническим разложением. Для Z50 аналогично. Примарные 2-компоненты будут Z4xZ2 и Z2xZ4. Они совпадают. Для 5-компонент всё ясно. Значит, группы из примера изоморфны. Порядок 100=НОК(50,4) есть там и там.

(22 Янв 0:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,082
×803
×42

задан
21 Янв 18:07

показан
100 раз

обновлен
22 Янв 0:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru