анализ - Компакты в топологическом пространстве

Это верно для хаусдорфовых пространств, и сразу следует из того, что компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто. Тогда пересечение компактов будет замкнуто (как пересечение замкнутых множеств), и далее надо воспользоваться тем, что замкнутое подмножество компакта есть компакт. Последнее верно для всех пространств, не только хаусдорфовых.

Для нехаусдорфова случая можно привести контрпримеры. Такого рода пространства являются довольно "экзотическими", но если интересуют именно такие случаи, то я могу построить контрпример.

Добавление. Вот как выглядит контрпример для нехаусдорфовых пространств. Возьмём какое-нибудь бесконечное множество с дискретной топологией (все подмножества открыты) -- например, множество $%{\mathbb N}$%. Добавим две новые точки -- скажем, $%a$%, $%b$%. Добавим новые открытые множества, объявляя таковыми $%A={\mathbb N}\cup\{a\}$%, $%B={\mathbb N}\cup\{b\}$%, $%{\mathbb N}\cup\{a,b\}$%. Ясно, что получается топология.

Каждое из множеств $%A$%, $%B$% компактно, что сразу вытекает из построения. Их пересечением будет $%{\mathbb N}$%, покрываемое бесконечным числом одноэлементных открытых множеств, а потому не компактное.