Верно ли, что пересечение двух топологических компактов - компакт?

задан 8 Май '13 22:13

10|600 символов нужно символов осталось
1

Это верно для хаусдорфовых пространств, и сразу следует из того, что компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто. Тогда пересечение компактов будет замкнуто (как пересечение замкнутых множеств), и далее надо воспользоваться тем, что замкнутое подмножество компакта есть компакт. Последнее верно для всех пространств, не только хаусдорфовых.

Для нехаусдорфова случая можно привести контрпримеры. Такого рода пространства являются довольно "экзотическими", но если интересуют именно такие случаи, то я могу построить контрпример.

Добавление. Вот как выглядит контрпример для нехаусдорфовых пространств. Возьмём какое-нибудь бесконечное множество с дискретной топологией (все подмножества открыты) -- например, множество $%{\mathbb N}$%. Добавим две новые точки -- скажем, $%a$%, $%b$%. Добавим новые открытые множества, объявляя таковыми $%A={\mathbb N}\cup\{a\}$%, $%B={\mathbb N}\cup\{b\}$%, $%{\mathbb N}\cup\{a,b\}$%. Ясно, что получается топология.

Каждое из множеств $%A$%, $%B$% компактно, что сразу вытекает из построения. Их пересечением будет $%{\mathbb N}$%, покрываемое бесконечным числом одноэлементных открытых множеств, а потому не компактное.

ссылка

отвечен 8 Май '13 22:40

изменен 9 Май '13 12:17

Приведите, пожалуйста, контрпример. Нужен именно он.

(9 Май '13 12:02) Анси

Сейчас напишу в добавлении. Пример довольно простой.

(9 Май '13 12:10) falcao

Спасибо!!!

(9 Май '13 21:57) Анси
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×355
×115
×9

задан
8 Май '13 22:13

показан
1006 раз

обновлен
9 Май '13 21:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru