|
Помогите, пожалуйста, как узнать, что последовательность - сходящаяся. К примеру: Я сам понимаю, что в данном примере посл-ть расходится, но как это описать письменно? Можно и не для этой, а вообще общий принцип. задан 11 Фев '12 21:26 
Listener |
|
Если ряд расходится, это значит, что сумма числового ряда равна бесконечности. На практике, в большинстве примеров сумму ряда находить не требуется. Для этого используются специальные признаки, которые доказаны теоретически. Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится. Но это еще не все, это всего лишь необходимый признак сходимости ряда. Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться! В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие признаки. Более подробно о сходимости ряда можешь почитать вот здесь: http://mathprofi.ru/ryady_dlya_chajnikov.html отвечен 11 Фев '12 22:12 
Tartakovsky Спасибо вам!
(11 Фев '12 22:20)
Listener
|
|
@Tartakowsky пишет о сходимости ряда. А вопрос о сходимости последовательности. Это совсем разные вещи. Последовательность сходится, если имеет конечный предел, то есть такое число а, в любой окрестности которой находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера N. (Для каждой окрестности N может быть другим.) Определение: $%lim a_n = a$%, если для каждого положителного числа $% \varepsilon $% , существует натуральное число $%N$%, что при $%n>N$% выполняется неравенство $%|a_n-a| < \varepsilon$%. Геометрически это означает, что вне каждой окрестности $%(a-\varepsilon;a+\varepsilon)$% числа $%a$%, находятся конечное число членов последовательности. Кстати, в вашем примере последовательность расходится, потому что если предполагать, что число $%a$% - предел этой последовательности, то, например, внутри окрестности $%(a-1,5; a+1,5)$% будет не больше одного члена, потому что длина окрестности 3, а соседние члены последовательности находятся друг от друга на расстояние 3. Значит, вне этой последовательности находятся бесконечное число членов. Это означает, что $%a$% не может быть пределом этой последовательности. отвечен 12 Фев '12 1:31 
ASailyan А как тогда в моём случае?
(12 Фев '12 3:47)
Listener
1
В последнем абзаце все описано же. Для вашей последовательности в любой конечной окрестности любой точки находится конечное число членов(потому что их число в этой окрестности не превосходит "длины" окрестности, деленной на 3), а значит вне этой окрестности находится бесконечное число членов. Это условие не необходимое для доказательства расходимости, но достаточное.
(13 Фев '12 7:56)
Occama
|