Помогите, пожалуйста, как узнать, что последовательность - сходящаяся. К примеру:

3, 6, 9, ..., 3n, ...

Я сам понимаю, что в данном примере посл-ть расходится, но как это описать письменно? Можно и не для этой, а вообще общий принцип.

задан 11 Фев '12 21:26

изменен 11 Фев '12 22:09

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если ряд расходится, это значит, что сумма числового ряда равна бесконечности. На практике, в большинстве примеров сумму ряда находить не требуется. Для этого используются специальные признаки, которые доказаны теоретически. Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится. Но это еще не все, это всего лишь необходимый признак сходимости ряда. Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться! В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие признаки. Более подробно о сходимости ряда можешь почитать вот здесь: http://mathprofi.ru/ryady_dlya_chajnikov.html

ссылка

отвечен 11 Фев '12 22:12

Спасибо вам!

(11 Фев '12 22:20) Listener
10|600 символов нужно символов осталось
2

@Tartakowsky пишет о сходимости ряда. А вопрос о сходимости последовательности. Это совсем разные вещи.

Последовательность сходится, если имеет конечный предел, то есть такое число а, в любой окрестности которой находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера N. (Для каждой окрестности N может быть другим.)

Определение: $%lim a_n = a$%, если для каждого положителного числа $% \varepsilon $% , существует натуральное число $%N$%, что при $%n>N$% выполняется неравенство $%|a_n-a| < \varepsilon$%.

Геометрически это означает, что вне каждой окрестности $%(a-\varepsilon;a+\varepsilon)$% числа $%a$%, находятся конечное число членов последовательности.

Кстати, в вашем примере последовательность расходится, потому что если предполагать, что число $%a$% - предел этой последовательности, то, например, внутри окрестности $%(a-1,5; a+1,5)$% будет не больше одного члена, потому что длина окрестности 3, а соседние члены последовательности находятся друг от друга на расстояние 3. Значит, вне этой последовательности находятся бесконечное число членов. Это означает, что $%a$% не может быть пределом этой последовательности.

ссылка

отвечен 12 Фев '12 1:31

изменен 13 Фев '12 0:30

А как тогда в моём случае?

(12 Фев '12 3:47) Listener
1

В последнем абзаце все описано же. Для вашей последовательности в любой конечной окрестности любой точки находится конечное число членов(потому что их число в этой окрестности не превосходит "длины" окрестности, деленной на 3), а значит вне этой окрестности находится бесконечное число членов. Это условие не необходимое для доказательства расходимости, но достаточное.

(13 Фев '12 7:56) Occama
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,940
×221
×128

задан
11 Фев '12 21:26

показан
2983 раза

обновлен
13 Фев '12 7:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru