математический-анализ - Найти предел не пользуясь правилом Лопиталя

Пусть считается известным следующее (оно должно было ранее доказываться): $$\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}t=1$$ (это производная экспоненты в нуле) и $$\lim_{y\to 0}\frac{\sin y}y=1$$ (это первый замечательный предел).

Тогда в первом условии подставим $%t=-2x\to 0$% (при $%x\to 0$%), а во втором $%y=\arcsin x\to 0$%. При этом $%\sin y=\sin(\arcsin x)=x$% в некоторой окрестности нуля. Следовательно, $$\lim_{x\to 0}\frac{e^{-2x}-1}{-2x}=1$$ и $$\lim_{x\to 0}\frac{x}{\arcsin x}=1.$$ Перемножаем пределы, сокращаем на $%x$%, домножаем на $%-2$%, и получаем ответ $%-2$%.