Думал, что удалось решить, но не тут то было (нашёл ошибку), поэтому переоткрою вопрос) Дана последовательность операторов $%A_nx(t)=x\left(t^{1+\frac{1}{n}}\right):C[0,1]\to C[0,1]$%. Легко показать, что она сходится поточечно к единичному оператору по теореме Банаха-Штейнгауза. Равномерной сходимости, судя по ответу, нет. Но показать это у меня не получается. Нужно подобрать пример такой последовательности $%x_n(t)$%, для которой $%\frac{||A_nx_n-Ix_n||}{||x_n||}$% не стремится к нулю. Никак не получается такую последовательность подобрать. Прям засела эта задача в голове, тут либо что-то очень элементарное, либо наоборот. Буду благодарен за любой намёк или подсказку.

задан 23 Янв '19 21:07

изменен 8 Мар '19 9:50

1

@caterpillar: пусть 0 < a < b < 1. Рассмотрим непрерывную функцию, которая равна 0 на [0,a], линейна на [a,b], и равна 1 на [b,1]. Её норма равна 1. Для фиксированного n положим a=(1/2)^{1+1/n} и b=1/2. Это и возьмём в качестве x_n(t).

(8 Мар '19 12:09) falcao

@falcao, ох, ёлки) Можно с Вами свериться? У меня получилось ветвление из четырёх вариантов для величины $%Ax_n-x_n$% и на отрезке $%\left[\frac{1}{2^{1+\frac{1}{n}}},\frac{1}{2}\right]$% получилась функция $%-\frac{1}{1-2^{-\frac{1}{n}}}\left(2t-2^{-\frac{1}{n}}\right)$%, максимум которой равен 1 независимо от $%n$%.

(8 Мар '19 12:53) caterpillar
1

@caterpillar: разность функций можно так подробно не анализировать -- достаточно сравнить значения в точке b. Отсюда уже следует, что норма числителя >=1.

(8 Мар '19 14:32) falcao

@falcao, спасибо, до такой точки a я догадаться и не мог всё это время)) хотя это как бы должно было быть очевидно...

(8 Мар '19 14:50) caterpillar

Добрый день! Вы смогли решить задачу?Если да,то можно ли получить полное объяснение.Благодарю заранее

(25 Мар 11:22) DGDGDG

@DGDGDG: в комментариях построен пример последовательности функций x_n, о котором спрашивалось в условии.

(25 Мар 12:56) falcao

@DGDGDG, что конкретно Вам непонятно?

@falcao, мне потом позже пришёл в голову ещё такой пример: кусочно-линейная функция, проходящая через (0,0), (1,1), (1/2^{n+1},0), (1/2^n,1) и рассмотреть значение в точке t=1/2^n.

(25 Мар 13:01) caterpillar

@caterpillar: я уже подзабыл конкретику по поводу этой задачи, а заново в неё погружаться нет особого желания. Наверное, этот пример тоже должен подходить, раз Вы проверяли. По характеру он похож на предыдущий.

(25 Мар 13:34) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×628

задан
23 Янв '19 21:07

показан
648 раз

обновлен
25 Мар 13:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru