Как найти интеграл $$\frac{dx}{(2sinx+3cosx)}$$

задан 9 Май '13 16:24

изменен 12 Май '13 0:07

Deleted's gravatar image


126

1

@kbcn, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.
@kbcn, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(11 Май '13 0:52) DocentI

@kbcn, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(12 Май '13 0:08) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
2

В таких случаях обычно применяется замена вида $%t={\rm tg\ }\frac{x}2$%, после чего всё сводится к интегралу от рациональной функции. При этом $%\cos x=(1-t^2)/(1+t^2)$%; $%\sin x=2t/(1+t^2)$%, и $%x=2{\rm arctg\ }t$%, откуда $%dx=dt/(1+t^2)$%.

ссылка

отвечен 9 Май '13 16:30

10|600 символов нужно символов осталось
2

Преобрауем знаменатель $$2\sin{x}+3\cos{x}={\sqrt{13}}\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\sin{x}+\dfrac{3}{\sqrt{13}}\cos{x}\right).$$ Обозначим через $%\varphi$% угол, для которого $$\begin{gather}\cos{\varphi}=\dfrac{2}{\sqrt{13}}, \\ \sin{\varphi}=\dfrac{3}{\sqrt{13}}. \end{gather}$$ Тогда $$2\sin{x}+3\cos{x}={\sqrt{13}}\left(\cos{\varphi}\sin{x} +\sin{\varphi} \cos{x} \right) = \sqrt{13}\sin{(x+\varphi)}.$$ Таким образом, приходим к интегралу $$\int{\dfrac{dx}{2\sin{x}+3\cos{x}}}=\sqrt{13}\int{\dfrac{dx}{\sin{(x+\varphi)}}}=\left|\matrix{t=x+\varphi\\ dx=dt}\right|=\sqrt{13}\int{\dfrac{dt}{\sin{t}}}.$$

ссылка

отвечен 9 Май '13 22:48

изменен 12 Май '13 23:45

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%sinx \cdot siny+ cosx \cdot cosy=cos(x-y)$%
Надо было наоборот обозначить. $%сos \varphi =\frac{2}{ \sqrt{13}}$%

ссылка

отвечен 11 Май '13 21:55

изменен 12 Май '13 0:08

Deleted's gravatar image


126

Да, действительно, большое спасибо.

(12 Май '13 23:46) Mather
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×226

задан
9 Май '13 16:24

показан
1432 раза

обновлен
12 Май '13 23:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru