|
Ответ Д): $%4\sqrt{14}$%. Расстояние от центра $%O_1$% первой окружности до вершины угла равно $%12$% (радиус умножить на $%\sqrt{2}$%). Центр $%O_2$% второй окружности удалён от вершины на расстояние $%12+8=20$%, и её радиус равен $%10\sqrt{2}$% (здесь делим на $%\sqrt{2}$%). Рассмотрим четырёхугольник $%O_1MO_2N$%, который может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Он симметричен относительно оси $%MN$%. Нам известны длины $%O_1M=6\sqrt{2}$% и $%O_2M=10\sqrt{2}$%. Положим $%x=OO_2$%, $%y=OO_1$%, где $%O$% -- точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Нам известно, что $%x\pm y=O_1O_2=8$% (плюс берётся у выпуклого, минус у невыпуклого четырёхугольника). Применим теорему Пифагора к треугольникам $%MOO_2$%, $%MOO_1$% с общей высотой, откуда $%(10\sqrt{2})^2-x^2=(6\sqrt{2})^2-y^2$%, то есть $%x^2-y^2=128$%. Следовательно, $%x\mp y=(x^2-y^2)/(x\pm y)=128/8=16$%. Зная сумму и разность чисел, находим $%x=12$%, $%y=4$%, что соответствует случаю невыпуклого четырёхугольника. Точка $%O_1$% лежит между $%O$% и $%O_2$%. Теперь можно найти $%OM=MN/2$% из треугольника $%MOO_1$% по теореме Пифагора: $%MO^2=MO_1^2-OO_1^2=(6\sqrt{2})^2-4^2=56$%. Отсюда $%MO=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$%, то есть $%MN=4\sqrt{14}$%. отвечен 9 Май '13 18:51 
falcao |
|
Четырехугольники $%O_1GAK$% и $%O_2DAI$% квадраты , $%AO_1=O_1G\sqrt2=12, AO_2=AO_1+O_1O_2=12+8=20 (AO_1\cap MN=H).$% $%\bigtriangleup AO_1G \sim \bigtriangleup AO_2D \Rightarrow \frac{O_2D}{O_1G}=\frac{AO_2}{AO_1}\Rightarrow R=O_2D=\frac{20\cdot 6\sqrt2}{12}=10\sqrt2.$% Из треугольника $%MO_1O_2$% по теореме косинусов $%cos \angle O_2=\frac{MO_2^2+O_1O_2^2-MO_1^2}{2MO_2\cdot O_1O_2}=\frac{3\sqrt2}{5}\Rightarrow sin \angle O_2=\sqrt{1-(\frac{3\sqrt2}{5})^2}=\frac{\sqrt 7}5.$% Наконец из прямоугольного треугольника $%MO_2H$% $%MH=MO_2sin \angle O_2=10\sqrt2\cdot \frac{\sqrt 7}5=2\sqrt{14} \Rightarrow MN=4\sqrt{14}.$% отвечен 9 Май '13 22:15 
ASailyan |
Нарисуйте в масштабе и прикиньте, какой ответ верный! ;-)
@DocentI: да, тут авторы задачи явно "подкачали" с подбором чисел в ответах. Надо было указать что-то более близкое по величине. Скажем, число 15 можно было включить для разнообразия. А то я слышал историю, что в первых выпусках ЕГЭ в каком-то сложном тригонометрическом уравнении люди просто взяли и подставили числа на калькуляторе :)
Ну, калькулятор же нельзя брать на экзамен (теоретически). Кстати, я своих учеников (которых готовлю к ЕГЭ) обучаю таким приемам. Без калькулятора, правда. Например, много дает то, что ответ должен быть записан в клеточки. Некоторые задачи на наибольшее/наименьшее значение в этом случае решались не только без производной, но и без знания табличных значений триг. функций! :-)