|
Помогите пожалуйста решить... Предполагая, что зависимость объема продукции ($%Y$%) от текущего года ($%X$%) имеет вид $%y=a+b \cdot exp \cdot (x-1932)$%, найти методом наименьших квадратов параметры $%a$% и $%b$%, если известен объем продукции в 1932-1938 г X 1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938 Y 45,5 48,5 55,8 65,7 86,0 96,3 105,0 Результаты оформите графически. задан 10 Май '13 0:09 
kolyan_23 |
|
Общая схема метода такая. У Вас даны точки $%x_1$%, ..., $%x_n$%, а также $%y_1$%, ..., $%y_n$%. Кроме этого, дана функция $%y=f(x)$%, зависящая от параметров $%a$% и $%b$%, которые требуются подобрать так, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Это значит, что надо минимизировать такую функцию: $$F(a,b)=(y(x_1)-y_1)^2+\cdots+(y(x_n)-y_n)^2.$$ Для этого надо найти частные производные $%\partial F/\partial a$% и $%\partial F/\partial b$%, приравнивая их к нулю, а затем решить систему из двух полученных уравнений относительно $%a$% и $%b$%. Чтобы было понятнее, рассмотрим нахождение производных $%i$%-го слагаемого. например, $$\frac{\partial F}{\partial a}(a+b\cdot\exp(x_i-1932)-y_i)^2.$$ Результатом будет некое выражение вида $%ua+vb+w$%, где множители $%u$%, $%v$%, $%w$% известны из условия. После сложения и приравнивания к нулю получится линейное уравнение. То же самое -- для частной производной по $%b$%. Далее система легко решается (например, по формулам Крамера). Да, чтобы проще было вычислять, можно заменить $%x-1932$% на $%X$% и считать, что $%X$% меняется от $%0$% до $%6$%, а в формуле для функции написано $%y=a+be^X$%. отвечен 10 Май '13 0:24 
falcao А если обозначить $%X=exp(x-1932)$%, то получится линейное уравнение парной регрессии $%y=a+bX$%, для нахождения коэффициентов которого во всех учебниках в общем виде выводятся и система уравнений... и результирующие формулы...
(11 Май '13 17:40)
all_exist
@all_exist: В принципе, да, но здесь теряется удобство расположения "иксов". Метод тут в любом случае стандартный, и уравнения можно в буквенном виде вывести самостоятельно.
(11 Май '13 17:55)
falcao
Можете помочь решить, ( я не великий математик...?) как найти dF/db
(14 Май '13 20:38)
kolyan_23
@kolyan_23: я думаю, Вы умеете дифференцировать какие-то функции простого вида. Вот, допустим, есть функция $%(17b-23)^2$%, где $%b$% -- переменная. Какая будет у неё производная? Понятно, что это производная квадрата, умноженная на производную того, что в квадрат возводится, то есть $%2(17b-23)\cdot17$%. А теперь посмотрите на то выражение, которое есть, и осознайте, что коэффициент при $%b$%, равный $%exp(x_i-1932)$% -- это как $%17$% из примера, а $%a-y_i$% -- это как $%-23$%. Это делается для каждого $%i$%, а потом всё суммируется.
(15 Май '13 0:43)
falcao
@kolyan_23: надо нарисовать в соответствующем масштабе 7 точек с координатами (X,Y), которые даны в условии. После того, как найдены значения a,b, надо там же нарисовать кривую -- график функции $%y=a+b*exp(x-1932)$%. Проще всего это сделать по точкам, вычисляя значения $%y$% по этой формуле для каждого $%x$% от 1932 до 1938, а потом соединить их плавной кривой.
(16 Май '13 21:19)
falcao
можна ли вам прислать на email ход моего решения( пока не очень получается)?
(21 Май '13 16:31)
kolyan_23
@kolyan_23: удобнее всего будет, если Вы выложите здесь ссылку на "скан" своего решения, а я потом что-нибудь по возможности подскажу.
(22 Май '13 15:11)
falcao
показано 5 из 7
показать еще 2
|