Помогите пожалуйста решить...

Предполагая, что зависимость объема продукции ($%Y$%) от текущего года ($%X$%) имеет вид $%y=a+b \cdot exp \cdot (x-1932)$%, найти методом наименьших квадратов параметры $%a$% и $%b$%, если известен объем продукции в 1932-1938 г

X 1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938

Y 45,5 48,5 55,8 65,7 86,0 96,3 105,0

Результаты оформите графически.

задан 10 Май '13 0:09

изменен 22 Май '13 15:28

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
1

Общая схема метода такая. У Вас даны точки $%x_1$%, ..., $%x_n$%, а также $%y_1$%, ..., $%y_n$%. Кроме этого, дана функция $%y=f(x)$%, зависящая от параметров $%a$% и $%b$%, которые требуются подобрать так, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Это значит, что надо минимизировать такую функцию: $$F(a,b)=(y(x_1)-y_1)^2+\cdots+(y(x_n)-y_n)^2.$$ Для этого надо найти частные производные $%\partial F/\partial a$% и $%\partial F/\partial b$%, приравнивая их к нулю, а затем решить систему из двух полученных уравнений относительно $%a$% и $%b$%.

Чтобы было понятнее, рассмотрим нахождение производных $%i$%-го слагаемого. например, $$\frac{\partial F}{\partial a}(a+b\cdot\exp(x_i-1932)-y_i)^2.$$ Результатом будет некое выражение вида $%ua+vb+w$%, где множители $%u$%, $%v$%, $%w$% известны из условия. После сложения и приравнивания к нулю получится линейное уравнение. То же самое -- для частной производной по $%b$%. Далее система легко решается (например, по формулам Крамера).

Да, чтобы проще было вычислять, можно заменить $%x-1932$% на $%X$% и считать, что $%X$% меняется от $%0$% до $%6$%, а в формуле для функции написано $%y=a+be^X$%.

ссылка

отвечен 10 Май '13 0:24

изменен 10 Май '13 0:28

А если обозначить $%X=exp(x-1932)$%, то получится линейное уравнение парной регрессии $%y=a+bX$%, для нахождения коэффициентов которого во всех учебниках в общем виде выводятся и система уравнений... и результирующие формулы...

(11 Май '13 17:40) all_exist

@all_exist: В принципе, да, но здесь теряется удобство расположения "иксов". Метод тут в любом случае стандартный, и уравнения можно в буквенном виде вывести самостоятельно.

(11 Май '13 17:55) falcao

Можете помочь решить, ( я не великий математик...?) как найти dF/db

(14 Май '13 20:38) kolyan_23

@kolyan_23: я думаю, Вы умеете дифференцировать какие-то функции простого вида. Вот, допустим, есть функция $%(17b-23)^2$%, где $%b$% -- переменная. Какая будет у неё производная? Понятно, что это производная квадрата, умноженная на производную того, что в квадрат возводится, то есть $%2(17b-23)\cdot17$%. А теперь посмотрите на то выражение, которое есть, и осознайте, что коэффициент при $%b$%, равный $%exp(x_i-1932)$% -- это как $%17$% из примера, а $%a-y_i$% -- это как $%-23$%. Это делается для каждого $%i$%, а потом всё суммируется.

(15 Май '13 0:43) falcao

@kolyan_23: надо нарисовать в соответствующем масштабе 7 точек с координатами (X,Y), которые даны в условии. После того, как найдены значения a,b, надо там же нарисовать кривую -- график функции $%y=a+b*exp(x-1932)$%. Проще всего это сделать по точкам, вычисляя значения $%y$% по этой формуле для каждого $%x$% от 1932 до 1938, а потом соединить их плавной кривой.

(16 Май '13 21:19) falcao

можна ли вам прислать на email ход моего решения( пока не очень получается)?

(21 Май '13 16:31) kolyan_23

@kolyan_23: удобнее всего будет, если Вы выложите здесь ссылку на "скан" своего решения, а я потом что-нибудь по возможности подскажу.

(22 Май '13 15:11) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,003

задан
10 Май '13 0:09

показан
1031 раз

обновлен
22 Май '13 15:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru