img

задан 10 Май '13 9:50

изменен 12 Май '13 0:30

Deleted's gravatar image


126

@IvanLife, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(10 Май '13 10:58) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

В таких случаях удобно вводить вспомогательные обозначения для повторяющихся величин. Выражение из условия имеет вид $$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}},$$ где $%x$% и $%y$% -- соответствующие подкоренные выражения. Область определения задана условиями $%x > y\ge0$%.

Домножим числитель и знаменатель на сумму корней. Получится $$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x-y}.$$ Легко видеть, что $$x=(a+\sqrt{ab})(\sqrt{ab}+b)=(a+b)\sqrt{ab}+2ab,$$ $$y=(a-\sqrt{ab})(\sqrt{ab}-b)=(a+b)\sqrt{ab}-2ab.$$ Отсюда $%x-y=4ab > 0$%. Условие $%y\ge0$% равносильно $%a+b\ge2\sqrt{ab}$%. Из него следует, что сумма $%a+b$% положительна. Поскольку это числа одного знака, то они оба положительны. При этом условие $%y\ge0$% выполнено всегда, так как приводится к виду $%(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge0$%.

Найдём произведение чисел $%x$% и $%y$%. Это будет разность квадратов: $$xy=(a+b)^2ab-4a^2b^2=ab(a^2-2ab+b^2)=ab(a-b)^2.$$ Тем самым, $%\sqrt{xy}=\sqrt{ab}|a-b|$%. С учётом того, что $%x+y=2\sqrt{ab}(a+b)$%, найдём числитель преобразованной дроби: $%x+y+2\sqrt{xy}=2\sqrt{ab}(a+b+|a-b|)$%. Выражение в скобках равно $%2\max(a,b)$%, и после сокращения числителя и знаменателя на $%4\sqrt{ab}$% дробь принимает вид $$\frac{\max(a,b)}{\sqrt{ab}}.$$ Это и есть упрощённый вид выражения. При желании, его можно записать в виде $%\sqrt{a/b}$% при $%a\ge b$% и в виде $%\sqrt{b/a}$% при $%b\ge a$%. Помним также, что область определения выражения из условии задачи задаётся неравенствами $%a,b > 0$%.

ссылка

отвечен 10 Май '13 11:20

10|600 символов нужно символов осталось
0

Мне кажется, что здесь лучше преобразовывать "в лоб". Например, $%x=\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})=\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$%. Значит, $%\sqrt{x}=\sqrt[4]{ab}(\sqrt a+\sqrt b)$%. Аналогично $%\sqrt{y}=\sqrt[4]{ab}|\sqrt a-\sqrt b|$%.
При подстановке в исходное выражение корни четвертой степени сокращаются, и надо только рассмотреть два случая, $%a>b$% и $%a\le b$%.

ссылка

отвечен 11 Май '13 0:50

1

@DocentI: мне кажется, это равноценные решения. Я сразу видел, что корень четвёртой степени должен сократиться, но сознательно не стал идти по этому пути. Ещё есть такая тонкость, что положительность $%a$% и $%b$% заранее не известна, то есть её надо доказывать. Бывает и так, что числа могут быть оба отрицательными. Поэтому сразу извлекать корни из чисел не вполне корректно.

(11 Май '13 0:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,148

задан
10 Май '13 9:50

показан
2478 раз

обновлен
11 Май '13 0:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru