алгебра - Упростить выражение

В таких случаях удобно вводить вспомогательные обозначения для повторяющихся величин. Выражение из условия имеет вид $$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}},$$ где $%x$% и $%y$% -- соответствующие подкоренные выражения. Область определения задана условиями $%x > y\ge0$%.

Домножим числитель и знаменатель на сумму корней. Получится $$\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x-y}.$$ Легко видеть, что $$x=(a+\sqrt{ab})(\sqrt{ab}+b)=(a+b)\sqrt{ab}+2ab,$$ $$y=(a-\sqrt{ab})(\sqrt{ab}-b)=(a+b)\sqrt{ab}-2ab.$$ Отсюда $%x-y=4ab > 0$%. Условие $%y\ge0$% равносильно $%a+b\ge2\sqrt{ab}$%. Из него следует, что сумма $%a+b$% положительна. Поскольку это числа одного знака, то они оба положительны. При этом условие $%y\ge0$% выполнено всегда, так как приводится к виду $%(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge0$%.

Найдём произведение чисел $%x$% и $%y$%. Это будет разность квадратов: $$xy=(a+b)^2ab-4a^2b^2=ab(a^2-2ab+b^2)=ab(a-b)^2.$$ Тем самым, $%\sqrt{xy}=\sqrt{ab}|a-b|$%. С учётом того, что $%x+y=2\sqrt{ab}(a+b)$%, найдём числитель преобразованной дроби: $%x+y+2\sqrt{xy}=2\sqrt{ab}(a+b+|a-b|)$%. Выражение в скобках равно $%2\max(a,b)$%, и после сокращения числителя и знаменателя на $%4\sqrt{ab}$% дробь принимает вид $$\frac{\max(a,b)}{\sqrt{ab}}.$$ Это и есть упрощённый вид выражения. При желании, его можно записать в виде $%\sqrt{a/b}$% при $%a\ge b$% и в виде $%\sqrt{b/a}$% при $%b\ge a$%. Помним также, что область определения выражения из условии задачи задаётся неравенствами $%a,b > 0$%.