Найти вероятность того, что в 8-значном числе ровно 4 цифры совпадают, а остальные различны. Я знаю, что задача уже решена, но мне интересно разобрать следующую попытку решения.

1 0 ... 0

1 0 ... 1

...

9 9 ... 9

Значит, о.ч.и. n = 9 * 10 ^ 7 = 90 млн;

m = C ( 4 из 8 ) * 10 - С ( 3 из 7 ) * 10 = ...

http://www.picshare.ru/view/9852260/

C ( 3 из 7 ) = 7! / ( 4! * 3! ) = 5 * 6 * 7 / 6 = 35:

исключить 350 вариантов ( 7 позиций, 10 цифр ).

... = 8! * 10 - 350 = ( 8! * 10 ) / ( 4! * 4! ) - 350 =

= 5 * 6 * 7 * 8 * 10 / ( 6 * 4 ) - 350 = 5 * 10 * 7 * 2 - 350 =

= 700 - 350 = 350;

P = 350 / 90 млн = 3,889 * 10 ^ (-6)

задан 31 Янв '19 21:22

@Jktu: по ссылке нет ничего кроме посторонней рекламы. То, что Вы привели в качестве решения -- неправильно. Могу изложить своё решение, а также проанализировать ошибки.

(31 Янв '19 22:19) falcao

@Jktu: по поводу ошибок. Не буду анализировать слишком глубоко, укажу только на один момент, ввиду которого вероятность оказалась сильно заниженной. Вы выбираете места для повторяющихся цифр, а потом ту цифру, которая повторяется. Но при этом надо заполнить ещё оставшиеся 4 места другими цифрами, что можно сделать очень многими способами, и этот момент в решении никак не отражён.

(31 Янв '19 22:51) falcao

Ну картинка там тоже затесалась. Раньше так много не было рекламы...

(31 Янв '19 23:14) Jktu

@Jktu: думаю, что можно найти более удобный бесплатный хостинг. Картинку я увидел, но это цифры от 1 до 8, где последние 7 цифр снизу подчёркнуты дугой. Непонятно, зачем на неё дана ссылка. Из-за этого я не заметил верхнюю ссылку на само решение. Там в первом из решений всё быстро находится, но числа рассматриваются 8-разрядные вместо 8-значных. Однако ответ при этом будет таким же. Можно сначала найти все варианты, в том числе и начинающиеся с нуля. Потом заметить, что все цифры равноправны, и с 0 начинается ровно 1/10 всех нужных вариантов. Поэтому умножаем на 9/10, получая то же самое.

(1 Фев '19 0:03) falcao

@falcao

Ну смысл картинки был такой. Сначала выбираем 4 из 8 (и домножил я тогда на 10 - число цифр, включая 0), затем исключаем все комбинации, начинающиеся с 0, т.е. выбираем 3 из 7 (эти 7 я и подчеркнул) (и опять домножил на 10, поскольку мне казалось это логичным).

Спасибо за помощь.

(1 Фев '19 3:46) Jktu
10|600 символов нужно символов осталось
1

Общее число вариантов равно $%9\cdot10^7$%. Подсчитаем число "удачных".

Первая цифра выбирается 9 способами. Дальше различаем два случая.

а) Первая цифра встречается ещё 3 раза, остальные цифры по разу. Загадываем три места из 7 для этой цифры: $%C_7^3=35$% способов. Остаётся 4 места, на которых надо разместить цифры без повторений из числа 9 оставшихся. Это $%A_9^4=9\cdot8\cdot7\cdot6=3024$%.

б) Первая цифра встречается однократно. Тогда загадываем 9 способами одну из цифр, которая встретится 4 раза. Далее выбираем 4 места из 7 для её расположения. Это те же $%C_7^4=C_7^3=35$% способов, что и выше. Осталось 3 места, и на них надо без повторений расположить 3 цифры из числа оставшихся 8. Это $%A_8^3=8\cdot7\cdot6=336$%.

Итого имеем $%9\cdot35\cdot(3024+9\cdot336)=1905120$%. Делим на общее количество случаев, получая ответ $%\frac{1323}{62500}=0,021168$%.

ссылка

отвечен 31 Янв '19 22:48

В принципе, тут можно всё сосчитать и чуть побыстрее. Если нужно, могу сообщить, как именно.

(31 Янв '19 22:59) falcao

@falcao A ( n из m ) = 2 С ( n из m )...

Тогда непонятно, почему 35 не умножается на два. В одних случаях мы используем вариант и вариант перевёрнутый ( A ( 4 из 9 ),... ), в других - просто вариант.

(2 Фев '19 14:25) Jktu

@falcao Насчёт пункта б. "Загадываем 9 способами одну из цифр, которая встретиться 4 раза". По-моему, "не всё так просто":

https://yadi.sk/i/F9hffjHsVq0bwg (картинка)

P.S. Там на картинке фраза "Общее число вариантов" стрелочкой указывает на красное же "о.ч.в."

(2 Фев '19 15:08) Jktu

@Jktu: число размещений не равно удвоенному числу сочетаний. Такой формулы нет.

Число 35 возникает как число возможных мест для расположения трёх цифр, совпадающих с первой (в пункте а)). Это охватывает все случаи их расположения, и умножать на 2 незачем. Перевёрнутых вариантов там нет. После этого вписываем цифру на загаданные места, и умножаем на число способов заполнения оставшихся мест. Это А из 9 по 4.

В пункте б) всё достаточно просто. Сначала мы решаем, какая из цифр будет повторяться. Она любая из 9. Потом загадываем места, где она будет стоять. Это С из 7 по 4. Всё учтено.

(2 Фев '19 16:46) falcao

@falcao Почему "одна из 9", а как же 0? 10000..., ..., 90000...; 10.000.., 90.000..;... (я знаю, что это число сочетаний, просто ещё раз проиллюстрировал) (Точка - это не первая цифра и не одна из четырёх повторяющихся; троеточие - это продолжение поледовательности).

Во-вторых, вижу верность Вашего объяснения пункта "а".

В-третьих, насчёт связи С и А. Ну да, я проверил, но связь всё же есть:

A ( n из m ) = С ( n из m ) * Р ( n )

https://yadi.sk/i/UODABsZhiuEfGg

(2 Фев '19 18:28) Jktu

@Jktu: во второму случае первая цифра (которую мы уже выбрали) встречается однократно. Поэтому 4 раза повторяется какая-то другая цифра (вполне возможно, что это 0) -- она может быть любой, не равной самой первой. Именно поэтому 9.

Связь между числом сочетаний и размещений -- вещь общеизвестная. Подтверждать такие факты ссылками на какие-то иллюстрации -- вещь явно лишняя.

(2 Фев '19 22:25) falcao

Нелогична вторая девятка в 9⋅35⋅(3024+9⋅336). @falcao

(5 Фев '19 4:01) Jktu

@Jktu: этот множитель отражает выбор той из 9 цифр (кроме уже загаданной первой), которая будет встречаться 4 раза.

Вообще, все эти задачи решаются относительно легко, если представлять себе последовательный процесс задания каких-то объектов.

(5 Фев '19 4:20) falcao

В таком случае надо бы 9⋅9⋅35⋅(3024+336), поскольку... Даже не знаю, смогут ли слова убедить или показать... Каждая первая цифра (которых 9; первый множитель) сочетается с каждой выборкой (35 выборок 10-1 (sic!) цифр; второй и третий множитель); размещение же, как я себе его представил, не нуждается во множителе вроде 9. @falcao

(5 Фев '19 5:07) Jktu

@Jktu: выбор первой цифры (9 способов) у меня учтён в самом начале. На 9 домножается сумма двух чисел. Во втором случае дополнительная девятка есть, так как мы там решаем, какая цифра будет повторяться много раз. В первом же случае её нет, так как повторяется самая первая цифра, которая уже была выбрана. Всё это изложено в решении, которое надо внимательно перечитать, и увидеть, что к чему.

(5 Фев '19 11:35) falcao

@falcao Понятно, спасибо) Ключевое: "В первом же случае её нет, так как повторяется самая первая цифра, которая уже была выбрана".

(5 Фев '19 18:48) Jktu
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,891
×1,271
×40

задан
31 Янв '19 21:22

показан
733 раза

обновлен
5 Фев '19 18:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru