алгебра - Сколько натуральных чисел принадлежит области значения

$$y=y(x)=\sqrt{(x^3-x^2)^3}+\sqrt{x^2-6x+9}$$

При $%x\in[0,5]$% функция определена на множестве решений неравенства $%x^3-x^2=x^2(x-1)\ge0$%, то есть при $%x\in\{0\}\cup[1,5]$%. Легко видеть, что $%y(0)=3$%, а при $%x\ge1$% имеет место равенство $$y=y(x)=x^3(x-1)\sqrt{x-1}+|x-3|.$$ Ясно, что $%y(1)=2$%, $%y(5)=5^3\cdot4\cdot2+2=1002$%. Поскольку функция непрерывна на отрезке, то она принимает все промежуточные значения. Тем самым, все натуральные числа от $%2$% до $%1002$% включительно принадлежат множеству значений функции.

Проверим, что никакие другие натуральные числа значениями функции быть не могут. На отрезке $%x\in[3,5]$% функция $%y=x^3(x-1)\sqrt{x-1}+x-3$% возрастает, и её наибольшее значение равно $%y(5)$%. На отрезке $%x\in[1,3]$% значения функции $%y=x^3(x-1)\sqrt{x-1}+3-x$% будут заведомо меньше $%y(5)$%. При $%x\in[1,2)$% второе слагаемое $%3-x$% больше $%1$%, а первое неотрицательно, поэтому $%y > 1$% при таких $%x$%. Если $%x\in[2,3]$%, то второе слагаемое неотрицательно, а первое не меньше $%8$%. Таким образом , $%y(x) > 1$% для всех $%x$% из области определения.

Ответ: $%1001$% число.