Всем здравствуйте!
Первыми интегралами системы:
x' = 2xy
y' = x^2 + y^2
Будут С1 = y^2/x - x и С2 = x^2/y - y, откуда на фазовой плоскости будем иметь прямые типа y = kx. То есть получится дикритический узел, но ведь условием на него является выполнение x' = ax и y' = ay, чего здесь нет.
Где у меня ошибка в рассуждениях?

задан 2 Фев 0:15

@Ghosttown: здесь линеаризованная система имеет вид x'=0, y'=0. Этот случай вроде бы не относится к понятию дикритического узла, где собственные значения не равны нулю. Он обычно рассматривается отдельно. А как получились прямые y=kx?

(2 Фев 1:20) falcao

@falcao, первые интегралы же верно найдены?
Тогда просто делим один на другой и получаем: -С1/C2 = y/x. То есть да, не будет узел, а просто прямая получается одна. Но должно же быть много параллельных прямых получится, что не так?
Первый первый интеграл получили перекрёстно умножив левые и правые части уравнений, там будет d(y^2/x) = dx.
Второй - из уравнений:
(x+y)' = (x+y)^2
(x-y)' = (x-y)^2
Там будет выражение d(x^2/y) = dy.

(2 Фев 15:27) Ghosttown

@falcao, да, в этом случае решения будут изображаться параллельными прямыми. А как узнать из направление? Скорость мы же определить не можем, собственные векторы тоже.

(2 Фев 15:33) Ghosttown

@Ghosttown: а какой смысл делить одно на другое? Уравнения симметричны, они задают два семейства кривых. Правильно ли они найдены, я не проверял. Вообще-то (x-y)^2 равно (y-x)', а не (x-y)'.

(2 Фев 16:50) falcao

@falcao, да, Вы правы, там ошибка была.
Можете подсказать, как узнать направления на кривых? В случае, если там прямая получается (а это так, ведь собственные числа 0).

(2 Фев 20:07) Ghosttown

Система вроде как явно решается...

(2 Фев 20:37) all_exist

@Ghosttown: с направлениями кривых проблемы нет. В точке (x,y) мы знаем вектор (x',y'), вычисляемый через систему. Это касательный вектор к интегральной кривой -- он и указывает её направление.

(2 Фев 22:35) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,175
×38

задан
2 Фев 0:15

показан
110 раз

обновлен
2 Фев 22:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru