|
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей: Пусть функция $$f : (a,b) \rightarrow R$$ выпукла вниз и дифференцируема в точке $$x_0$$. Доказать, что для любого x из интервала (a, b) $$f(x)\geq y_к(x)$$, где $$y_к=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$ Если бы в условии речь шла о дифференцируемой на (a, b) выпуклой вниз функции, то задача легко решается (например, с использованием теоремы Лагранжа). Но в данном случае сказано только то, что она дифференцируема в точке x0. Как из этого доказать, что ее график лежит не ниже касательной в точке x0, не понимаю. задан 2 Фев '19 10:02 
Даниил_Y |
|
Для упрощения будем работать с функцией $%g(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)$% отвечен 3 Фев '19 0:07 
spades Огромное спасибо!
(3 Фев '19 9:14)
Даниил_Y
|
Выпуклость и означает, что график лежит по одну сторону от касательной. Дифференцируемость здесь нужна лишь для того, чтобы эту касательную провести. Одной точки достаточно.
spades, большое спасибо! Для доказательства я провел рассуждения "от противного": предположил, что существует точка из интервала (a, b), для которой f(x)<yk(x) и в процессе рассуждения пришел к противоречию.
spades, Если не составит труда, ответьте, пожалуйста, на мой вопрос в этой ветке math.hashcode.ru/questions/85005/
Простите, что снова беспокою, но мне (к сожалению) не понятен следующий момент. Оговорюсь, что я пользуюсь следующим определением выпуклости: график функции называется выпуклым вниз, если для любых точек x1, x2 из интервала (a, b) и любого t из отрезка [0; 1] выполнено неравенство: f(tx1+(1-t)x2)<tf(x1)+(1-t)f(x2). Как уже писал, мы можем легко перейти к эквивалентному определению выпуклости в терминах касательной, если бы речь шла о дифференцируемой функции на (a, b). Но по условию задачи функция дифференцируема в точке x0. Условие о дифференцируемости функции на интервале отсутствует.
Поэтому остается непонятным, как из приведенного выше определения выпуклости может следовать, что график функции будет лежать по одну сторону от касательной в точке x0?