Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей: Пусть функция $$f : (a,b) \rightarrow R$$ выпукла вниз и дифференцируема в точке $$x_0$$. Доказать, что для любого x из интервала (a, b) $$f(x)\geq y_к(x)$$, где $$y_к=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$

Если бы в условии речь шла о дифференцируемой на (a, b) выпуклой вниз функции, то задача легко решается (например, с использованием теоремы Лагранжа). Но в данном случае сказано только то, что она дифференцируема в точке x0. Как из этого доказать, что ее график лежит не ниже касательной в точке x0, не понимаю.

задан 2 Фев 10:02

Выпуклость и означает, что график лежит по одну сторону от касательной. Дифференцируемость здесь нужна лишь для того, чтобы эту касательную провести. Одной точки достаточно.

(2 Фев 10:16) spades

spades, большое спасибо! Для доказательства я провел рассуждения "от противного": предположил, что существует точка из интервала (a, b), для которой f(x)<yk(x) и в процессе рассуждения пришел к противоречию.

(2 Фев 11:19) Даниил_Y

spades, Если не составит труда, ответьте, пожалуйста, на мой вопрос в этой ветке math.hashcode.ru/questions/85005/

(2 Фев 11:20) Даниил_Y

Простите, что снова беспокою, но мне (к сожалению) не понятен следующий момент. Оговорюсь, что я пользуюсь следующим определением выпуклости: график функции называется выпуклым вниз, если для любых точек x1, x2 из интервала (a, b) и любого t из отрезка [0; 1] выполнено неравенство: f(tx1+(1-t)x2)<tf(x1)+(1-t)f(x2). Как уже писал, мы можем легко перейти к эквивалентному определению выпуклости в терминах касательной, если бы речь шла о дифференцируемой функции на (a, b). Но по условию задачи функция дифференцируема в точке x0. Условие о дифференцируемости функции на интервале отсутствует.

(2 Фев 20:20) Даниил_Y

Поэтому остается непонятным, как из приведенного выше определения выпуклости может следовать, что график функции будет лежать по одну сторону от касательной в точке x0?

(2 Фев 20:23) Даниил_Y
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для упрощения будем работать с функцией $%g(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)$%
$%g(x_0)=g'(x_0)=0$%, $%g(x)$% - тоже выпукла и надо показать,что $%g(x)\geqslant 0$%
Выполнено $% g(tx_1+(1-t)x_2)\geqslant tg(x_1)+(1-t)g(x_2)$%
Положим $%t=\frac {x_2-x}{x_2-x_1}$% для $%x \in (x_1, x_2)$%
После преобразований получим
$%\frac {g(x)-g(x_1)}{x-x_1}\leqslant \frac {g(x_2)-g(x)}{x_2-x}$%
В силу произвольности выбора это неравенство верно для любых $%a< x_1< x < x_2 < b $%
Положим $%x=x_0$% и устремим $%x_1 \to x_0$%
Получим $%0=g'(x_0)\leqslant \frac {g(x_2)-g(x_0)}{x_2-x_0}=\frac {g(x_2)}{x_2-x_0}$%
Откуда $%g(x_2)\geqslant 0$% То есть $%g(x)\geqslant 0$% для любого $%x>x_0$%
Аналогично, в пределе при $%x_2 \to x_0$% получим $%g(x)\geqslant 0$% для любого $%x < x_0$%

ссылка

отвечен 3 Фев 0:07

Огромное спасибо!

(3 Фев 9:14) Даниил_Y
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,292
×46

задан
2 Фев 10:02

показан
146 раз

обновлен
3 Фев 9:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru