1)На переговоры за круглый стол приглашены n+k рыцарей и n священников, k≥1 (это люди и, значит, они различимы). Они рассаживаются за столом случайным образом, все места за столом уникальны. Найдите вероятность того, что никакие два священника не сели рядом. 2) На шахматной доске размера n×n случайно размещают n ладей. Найдите вероятности следующих событий: (a)A={ладьи не бьют друг друга}. (b) B={ладьи не бьют друг друга, и на главной диагонали нет никаких фигур}. (c) C={ладьи не бьют друг друга, и на главной диагонали находится ровноt < n фигур}. $$ Решение:$$ 1)Не знаю как посчитать (пробовал обозначить священников за 10, а рыцарей за 0, и применить идею элементов и перегородок, но последний элемент всегда будет нулем), но всего способов рассадки - (2n + k)!, и нужно домножить на (n+k)!n! т.к. все люди разные. $$ $$ 2)(a): $%\prod_{i=1}^{n-1} \frac{(n - i)^2}{(n^2 - i)}$% (b): $%\frac{1}{n} *\prod_{i=1}^{n-1} \frac{(n - i)^2}{(n^2 - i)}$% (c):тут не знаю(

задан 4 Фев 11:31

Если проверить, то во всех задачах далеки от правильного ответа

(4 Фев 17:21) spades

@falcao, подскажите, пожалуйста, почему мы считаем, что посадить священника после последнего рыцаря или перед первым – разные рассадки, если стол то круглый? Иными словами: почему не $$A_{n + k}^{n}$$?

(29 Ноя 16:23) meteora

@meteora: все места за столом уникальны, согласно условию. Поэтому можно считать, что они пронумерованы. Священник, которого садим перед первым рыцарем, займёт место №1. А если бы его посадили после последнего рыцаря, занял бы место номер 2n+k, то есть последнее.

Ответ перевожу в комментарий.

(29 Ноя 21:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

1) Общее число расположений равно $%(2n+k)!$%. Подсчитаем, в скольких случаях священники не сидят рядом. Рассмотрим такую перестановку, которая удовлетворяет условиям. Временно вычеркнем из неё номера мест, на которых сидят священники. Получится перестановка на множестве всех остальных, которая может быть любой. Таких перестановок имеется $%(n+k)!$%. Теперь вернём священников на те места, где они были. Поскольку они не сидят рядом, все священники попадут на разные места между остальными $%n+k$% участниками. Таких мест $%n+k+1$%: до первого, между первым и вторым, ... , после последнего. На эти места можно распределить священников $%A_{n+k+1}^n$% способами. Но мы при этом должны учесть, что два места -- начальное и последнее, не должны быть заняты одновременно. Значит, надо вычесть число способов такой рассадки. На начальное место выбираем одного из $%n$%, на последнее -- одного из $%n-1$% оставшихся, а остальных распределяем $%A_{n+k-1}^{n-2}$% способами.

Получается $%(n+k)!(A_{n+k+1}^n-n(n-1)A_{n+k-1}^{n-2})=(n+k)!\left(\frac{(n+k+1)!}{(k+1)!}-\frac{n(n-1)(n+k-1)!}{(k+1)!}\right)$%. Упрощая, имеем $%\frac{(n+k)!(n+k-1)!}{k!}(2n+k)$%. Деля на общее число расположений, имеем вероятность $%\frac{(n+k)!(n+k-1)!}{(2n+k-1)!k!}$%.

2) Эта задача несколько попроще. Ответ на пункт а), по-моему, правильный. Его также при желании можно выразить через факториалы. Остальное допишу позже, чтобы не терять уже набранный текст.

ссылка

отвечен 5 Фев 2:53

изменен 29 Ноя 21:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,663
×1,195

задан
4 Фев 11:31

показан
391 раз

обновлен
29 Ноя 21:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru