геометрия - Если это пространство не Евклидово, то чьё оно?

Давайте пойдём по порядку. Вы хотите ввести пространство с углами, подобное евклидову, но с другим вычислением расстояния. <strike>Я подробно объясню вам, почему так сделать нельзя.</strike>

Прежде всего, нам надо знать, что такое линейное пространство. По определению (Колмогоров,Фомин. Элементы теорий функций и функционального анализа, с. 119) это непустое множество $%L$% элементов $%x,y,z,...$% удовлетворяющее следующим свойствам:

Определена операция суммы и умножения на скаляр элементов этого пространства.

1. $%x+y=y+x$%
2. $%(x+y)+z=x+(y+z)$%
3. Существует нулевой элемент $%0$% такой, что $%x+0=x$%
4. Существует противоположный элемент $%-x$% такой, что $%x+(-x)=0$%
5. $%(\alpha\beta)x=\alpha(\beta x)$%
6. Существует единичный элемент $%1$% такой, что $%1x=x$%
7. $%(\alpha + \beta)x=\alpha x+\beta x$%
8. $%\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y$%

Для определения близости элементов нам понадобится ввести нормированное пространство. Оно вводится с помощью однородно-выпуклого функционала $%p(x)$% такого, что: (Колмогоров,Фомин. Элементы теорий функций и функционального анализа, с. 139)

1. $%p(x)\geq0$%, причём $%p(x)=0$% тогда и только тогда, когда $%x=0$%.
2. $%p(x+y)\leq p(x)+p(y)~\forall x,y$%
3. $%p(\alpha x)=|\alpha|p(x) ~\forall \alpha$%

Итак, мы ввели нормированное пространство.

Евклидово пространство позволяет ввести нам скалярное произведение, которое должно обладать следующими свойствами: (Колмогоров,Фомин. Элементы теорий функций и функционального анализа, с. 143):

1. $%(x,y)=(y,x)$%
2. $%(x_1+x_2,y)=(x_1,y)+(x_2,y)$%
3. $%(\alpha x,y)=\alpha(x,y)$%
4. $%(x,x)\geq 0$%, причём $%(x,x)=0$% тогда и тлько тогда, когда $%x=0$%

По определению, в евклидовом пространстве вводится норма, с ним согласованная: $%\|x\|=\sqrt{(x,x)}$%

Заметим, что в произвольном линейном пространстве у нас нет возможности перемножать вектора. Существует следующая теорема о евклидовости нормированного пространства: (Колмогоров,Фомин. Элементы теорий функций и функционального анализа, с. 162)

Для того, чтобы нормированное пространство R было евклидовым, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух элементов f и g выполнялось равенство: $$\|f+g\|^2+\|f-g\|^2=2(\|f\|^2+\|g\|^2)$$. Необходимость этого условия очевидна, поскольку в евклидовом пространстве сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Теперь надо показать достаточность. Достаточность доказывается в приведённом мной несколько раз источнике.

Поскольку тождество параллелограмма нарушается при любой другой метрике вида $%\|x\|=(\sum\limits_{k=1}^{n}x_i^p)^\frac{1}{p}$% (пример в Колмогоров,Фомин. Элементы теорий функций и функционального анализа, с. 163), то евклидовость возмодна только при $%p=2$%.

Добавление В следующем источнике: P.M. MILIСIС. Sur la g-angle dans un espace norme? Mat. Vesnik,45(1993),43-48 и P.M. MILICIC. On the B-angle and g-angle in normed spaces вводится понятие g-угла между векторами следующим образом:

Пусть $$g(x,y)=\|x\|\lim_{t \to 0}\frac{\|x+ty\|-\|x\|}{t}$$ - заданный функционал. Он удовлетворяет следующим свойствам:

1. $%g(\alpha x,y)=\alpha g(x,y)$%
2. $%g(x,x)=\|x\|^2$%
3. $%|g(x,y)|\leq\|x\|\|y\|$%

g-углом называется величина $$\angle_{g}(x,y)=\arccos \frac{\|x\|^2g(x,y)+\|y\|^2g(y,x)}{\|x\|\|y\|(\|x\|^2+\|y\|^2)}$$, обладающий следующим свойством:

1. $%\angle_{g}(x,y) = \angle_{g}(y,x)$%
2. $%\angle_{g}(\lambda x,\lambda y) = \angle_{g}(x,y)$%

Предлагаю автору посмотреть, достигнет ли он желаемого результата при помощи таких вычислений. (в его случае норма вектора $%\|\{x,y,z)\}\|=\sqrt[3]{|x|^3+|y|^3+|z|^3}$%

Добавление от 19.05 Что касается по поводу геометрических правил, то, если правильно выбрать пространство, можно получить неплохие результаты в планиметрии.

Определение. Пространство $%X$% называется пространством с квазискалярным произведением (quasi-inner-product space, далее q.i.p.), если для любых элементов $%x,y\in X$% верно следующее тождество: $$\|x+y\|^4-\|x-y\|^4=8\left[x^2g(x,y)+y^2g(y,x)\right]$$ g - это описанный функционал. В приведённых мной источниках доказываются следующие утверждения: Теорема 1. Пусть X - q.i.p. пространство. Тогда верны следующие утверждения:

1. Диагонали параллелограмма $%(0,x,y,x+y)$% равны тогда и только тогда, когда паралеллограмм есть g-прямоугольник, т. е. $%\angle_{g}(x,y) = \frac{\pi}{2}$%
2. Диагонали ромба $%(0,x,y,x+y)$% g-ортогональны, т. е. $%\angle_{g}(x+y,x-y) = \frac{\pi}{2}$%
3. Параллелограмм $%(0,x,y,x+y)$% является g-квадратом тогда и только тогда, когда его диагонали равны и g-ортогональны.

Теорема 2. Пусть X - q.i.p. пространство. Тогда центр описанной около g-прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой его g-гипотенузы.