2
1

(Вопрос откорректирован. Автор)

alt textПусть задана пространственная цепочка из 4-х отрезков, отвечающих рисунку, с длинами, ограниченными условиями: $$a, b, c, d$$; $$a < d; b < d; c < d$$; $$(a + b + c) > d$$. С помощью компьютерной программы найдём положительную вещественную величину x (x > 1), такую, что будет выполняться равенство: $$a^{x} + b^{x} + c^{x} = d^{x}$$. Чтобы достроить пирамиду, найдём недостающие её элементы: $$e = (a^{x} + b^{x})^{1/x}$$; $$f = (b^{x} + c^{x})^{1/x}$$ (e и f - действительные положительные величины). Все углы пирамиды определимы, сама она зафиксирована как некая строго, однозначно определённая фигура. Рассудим дальше. Все соотношения между элементами этой пирамиды можно выразить с помощью формулы Пифагора, а саму пирамиду - упрощённо говоря - считать евклидовой. Но в действительности-то мы построили пирамиду, используя другие, неквадратичные соотношения! Так является ли эта пирамида евклидовой? (поскольку вопрос сформулирован заново, то все прежние рассуждения автора, связанные с этим вопросом и основанные на ошибочных исходных данных, следует считать некорректными. Автором они с поля вопроса удалены).Дополнение Если потребовать, чтобы x и d стали постоянными величинами, то при всех остальных переменных величинах подвижный конец отрезка d будет описывать некую сфероидную поверхность. А это что за поверхность будет? При x = 2 это обыкновенная сфера. А при x = 2,5 (к примеру)как её квалифицировать? Ни эллипсоид, ни... Чёрт-те что!!$$05.04.2014$$Для трёхмерного пространства существует теорема, которую несложно обобщить на n-мерное: $$A = ((a_{11})^{q} + (a_{21})^{q} + (a_{31})^{q})^{1/q} =((b_{11})^{r} + (b_{21})^{r} + (b_{31})^{r})^{1/r}$$. Если в нашем случае принять: q = x и r = 2, то можно сделать вывод: любая пирамида, рассчитанная по x-формулам, сводима к пирамиде, рассчитанной по формулам теоремы Пифагора. При этом длины соответствующих рёбер в обоих случаях (а значит, и внешний вид обеих пирамид) различны (все величины - положительные действительные числа; $$A > a_{i1}; A > b_{j1};(a_{11} + a_{21} + a_{31}) > A; (b_{11} + b_{21} + b_{31}) > A$$); соответствующие слагаемые исходного выражения равны между собою

задан 10 Май '13 17:04

изменен 7 Апр '14 8:15

По определению, евклидово пространство - это линейное пространство с введённым на нём скалярным произведением. Поэтому пока не будет введено последнее, то нет и евклидовости.

Кроме того, что именно является элементом вашего пространства?

(10 Май '13 17:21) MathTrbl
1

Здесь никакого пространства, кроме трёхмерного евклидова, нет. Поэтому вопрос "что это за пространство?" лишён смысла. Потому что не указано, что понимается под словом "это". Далее, существование пирамиды с указанными свойствами требует доказательства. На этот счёт есть критерий, но там надо проверять, что он выполнен. Одних только неравенств треугольника для граней ещё не достаточно для существования пирамиды.

(10 Май '13 18:39) falcao

Этот вопрос - продолжение моего вопроса от 14 января 2013 г."Вопрос о соизмеримости двух метрик". Я тоже считаю, что это евклидово пространство. Но способ измерения (элементов пирамиды)расстояний другой - не квадратичный, а x-тичный... Если существуют диагонали 4-угольника, то существует и пространственная фигура. Она просто не может не существовать. Не знаю, какие критерии и доводы нужны для доказательства существования этой очевидной пирамиды. Давайте отбросим практическое применение этого способа расчётов, но в принципе такой подход к пирамидам (и более сложным фигурам), видимо, возможен.

(10 Май '13 22:36) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: существование пирамиды с заданными длинами рёбер надо доказывать. Объясню, в чём может быть трудность. Допустим, у нас для всех граней выполнены неравенства треугольника. Всегда ли можем составить три треугольника в одной вершине? Нет, так как длины определяют углы, а из трёх углов при вершине один угол (наибольший) должен быть меньше суммы двух других по известному свойству трёхгранного угла. Это условие в общем случае может быть не выполнено, то есть его надо проверять. Что касается способов измерения длин, то они самые обычные. Никакого $%x$%-пространства тут не возникает.

(10 Май '13 23:11) falcao
1

@nikolaykruzh..., оставьте Вы эту идею! Это прямо уже идея фикс. Чтобы четко поставить задачу и разобраться в наших ответах, надо понимать, что такое метрическое (или нормированное, и т.п.) пространство. У Вас же по этому поводу в голове путаница. Не надо, прошу Вас!

(11 Май '13 0:14) DocentI
1

@falcao!"Допустим, у нас для всех граней (видимо, рёбер?) выполнены неравенства треугольника". Это условие выполняется автоматически. Если $$e^{x} = a^{x} + b^{x}$$ и x > 1, то e < (a + b)...Пусть имеется три грани с известными длинами рёбер: (a, d, f), (d, e, c), (b, f, c). Две первых по общему ребру d образуют вершину S. Две вторых по общему ребру c образуют вершину T. Первая и третья по общему ребру f образуют вершину Q. Поскольку рёбра d и c имеют общую вершину T и S, то это одна и та же вершина и т. д... Обычно расстояния меряют квадратами!

(11 Май '13 11:22) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: то, что у Вас неравенства треугольника выполняются (для всех граней), это ясно. Но я обращал внимание на то, что этого условия не достаточно. Ещё раз показываю, почему это так. Пусть у нас есть четыре бумажных треугольника. Вы сначала берёте два из них и склеиваете по ребру $%d$%. Их можно вращать относительно $%d$%, и при этом угол между $%f$% и $%c$% будет принимать какие-то значения. Например, если угол между $%d,c$% равен 100 градусам, а угол между $%d,f$% равен 20 градусам, то между $%c,f$% угол можно сделать от 80 до 120. А если он на самом деле больше или меньше?

(11 Май '13 11:34) falcao

Уважаемая @DocentI! Вы, что же, предлагаете мне с этой путаницей уйти в потусторонний мир? Так врач смотрит на больного старика: "Сколько Вам лет?" - "Скоро 80" - "А что же Вы хотите, батенька? Уже многих молодых нет, а Вы, слава Богу, ещё ходите. Идите, и больше чтоб я Вас тут не видел! Не злите меня!" Это Ваша метода "лечить". Извините!

(11 Май '13 11:38) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: существование трёхмерной пирамиды с описанными свойствами пока не доказано, как я уже много раз говорил. Далее, любой математический объект всегда можно чем-то закодировать. Например, четырёхмерным вектором $%(a,b,c,d)$% или ещё чем-то. Треугольнику из примера можно сопоставлять вектор $%(6,7,8,x)$%. Вопрос в том, даст ли это что-нибудь интересное.

(12 Май '13 20:25) falcao

Ну, может я поклонница шоковой терапии :-). Обычные объяснения я уже исчерпала (в личной переписке)

(12 Май '13 23:11) DocentI

Мое мнение: у автора есть смутная мысль, что можно как-то геометрически реализовать выписанные им соотношения между числами. Сам он ее прояснить не может, а у нас такая мысль даже и не возникает. Что тут делать? Ну, может заняться другими задачами.

(15 Май '13 0:04) DocentI

Вы специалисты. Для меня статья в ссылке, дейсвительно, тёмный лес. Но Вам бояться этого не надо. Снисходительно усмехнувшись, переходите к другим задачам. Случай, клинически безвыходный. Я не могу сказать вам: удовлетворённое "Спасибо", а вы мне: радостное "Пожалуйста". Такое тоже в жизни бывает сплошь и рядом. Если я где-то был резок, не обижайтесь. Потому что глухой всегда сердится, когда с ним разговаривают.

(16 Май '13 7:53) nikolaykruzh...
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
1

Давайте пойдём по порядку. Вы хотите ввести пространство с углами, подобное евклидову, но с другим вычислением расстояния. <strike>Я подробно объясню вам, почему так сделать нельзя.</strike>

Прежде всего, нам надо знать, что такое линейное пространство. По определению (Колмогоров,Фомин. Элементы теорий функций и функционального анализа, с. 119) это непустое множество $%L$% элементов $%x,y,z,...$% удовлетворяющее следующим свойствам:

Определена операция суммы и умножения на скаляр элементов этого пространства.

  1. $%x+y=y+x$%
  2. $%(x+y)+z=x+(y+z)$%
  3. Существует нулевой элемент $%0$% такой, что $%x+0=x$%
  4. Существует противоположный элемент $%-x$% такой, что $%x+(-x)=0$%
  5. $%(\alpha\beta)x=\alpha(\beta x)$%
  6. Существует единичный элемент $%1$% такой, что $%1x=x$%
  7. $%(\alpha + \beta)x=\alpha x+\beta x$%
  8. $%\alpha(x+y)=\alpha x+\alpha y$%

Для определения близости элементов нам понадобится ввести нормированное пространство. Оно вводится с помощью однородно-выпуклого функционала $%p(x)$% такого, что: (Колмогоров,Фомин. Элементы теорий функций и функционального анализа, с. 139)

  1. $%p(x)\geq0$%, причём $%p(x)=0$% тогда и только тогда, когда $%x=0$%.
  2. $%p(x+y)\leq p(x)+p(y)~\forall x,y$%
  3. $%p(\alpha x)=|\alpha|p(x) ~\forall \alpha$%

Итак, мы ввели нормированное пространство.

Евклидово пространство позволяет ввести нам скалярное произведение, которое должно обладать следующими свойствами: (Колмогоров,Фомин. Элементы теорий функций и функционального анализа, с. 143):

  1. $%(x,y)=(y,x)$%
  2. $%(x_1+x_2,y)=(x_1,y)+(x_2,y)$%
  3. $%(\alpha x,y)=\alpha(x,y)$%
  4. $%(x,x)\geq 0$%, причём $%(x,x)=0$% тогда и тлько тогда, когда $%x=0$%

По определению, в евклидовом пространстве вводится норма, с ним согласованная: $%\|x\|=\sqrt{(x,x)}$%

Заметим, что в произвольном линейном пространстве у нас нет возможности перемножать вектора. Существует следующая теорема о евклидовости нормированного пространства: (Колмогоров,Фомин. Элементы теорий функций и функционального анализа, с. 162)

Для того, чтобы нормированное пространство R было евклидовым, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух элементов f и g выполнялось равенство: $$\|f+g\|^2+\|f-g\|^2=2(\|f\|^2+\|g\|^2)$$. Необходимость этого условия очевидна, поскольку в евклидовом пространстве сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Теперь надо показать достаточность. Достаточность доказывается в приведённом мной несколько раз источнике.

Поскольку тождество параллелограмма нарушается при любой другой метрике вида $%\|x\|=(\sum\limits_{k=1}^{n}x_i^p)^\frac{1}{p}$% (пример в Колмогоров,Фомин. Элементы теорий функций и функционального анализа, с. 163), то евклидовость возмодна только при $%p=2$%.

Добавление В следующем источнике: P.M. MILIСIС. Sur la g-angle dans un espace norme? Mat. Vesnik,45(1993),43-48 и P.M. MILICIC. On the B-angle and g-angle in normed spaces вводится понятие g-угла между векторами следующим образом:

Пусть $$g(x,y)=\|x\|\lim_{t \to 0}\frac{\|x+ty\|-\|x\|}{t}$$ - заданный функционал. Он удовлетворяет следующим свойствам:

  1. $%g(\alpha x,y)=\alpha g(x,y)$%
  2. $%g(x,x)=\|x\|^2$%
  3. $%|g(x,y)|\leq\|x\|\|y\|$%

g-углом называется величина $$\angle_{g}(x,y)=\arccos \frac{\|x\|^2g(x,y)+\|y\|^2g(y,x)}{\|x\|\|y\|(\|x\|^2+\|y\|^2)}$$, обладающий следующим свойством:

  1. $%\angle_{g}(x,y) = \angle_{g}(y,x)$%
  2. $%\angle_{g}(\lambda x,\lambda y) = \angle_{g}(x,y)$%

Предлагаю автору посмотреть, достигнет ли он желаемого результата при помощи таких вычислений. (в его случае норма вектора $%\|\{x,y,z)\}\|=\sqrt[3]{|x|^3+|y|^3+|z|^3}$%

Добавление от 19.05 Что касается по поводу геометрических правил, то, если правильно выбрать пространство, можно получить неплохие результаты в планиметрии.

Определение. Пространство $%X$% называется пространством с квазискалярным произведением (quasi-inner-product space, далее q.i.p.), если для любых элементов $%x,y\in X$% верно следующее тождество: $$\|x+y\|^4-\|x-y\|^4=8\left[x^2g(x,y)+y^2g(y,x)\right]$$ g - это описанный функционал. В приведённых мной источниках доказываются следующие утверждения: Теорема 1. Пусть X - q.i.p. пространство. Тогда верны следующие утверждения:

  1. Диагонали параллелограмма $%(0,x,y,x+y)$% равны тогда и только тогда, когда паралеллограмм есть g-прямоугольник, т. е. $%\angle_{g}(x,y) = \frac{\pi}{2}$%
  2. Диагонали ромба $%(0,x,y,x+y)$% g-ортогональны, т. е. $%\angle_{g}(x+y,x-y) = \frac{\pi}{2}$%
  3. Параллелограмм $%(0,x,y,x+y)$% является g-квадратом тогда и только тогда, когда его диагонали равны и g-ортогональны.

Теорема 2. Пусть X - q.i.p. пространство. Тогда центр описанной около g-прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой его g-гипотенузы.

ссылка

отвечен 11 Май '13 11:43

изменен 19 Май '13 9:21

@MathTrbl! Вы - замечательный педагог! У Вас есть терпеливое желание внушить человеку истину. Это характеризует и человека, и педагога с самой лучшей стороны. Вы убедили меня в том, что пирамида, данная на рисунке, не Евклидова. А нет ли у Колмогорова и Фомина ответа на вопрос: "Чья это пирамида?" Спасибо Вам! С Вами можно идти в разведку.

(11 Май '13 12:31) nikolaykruzh...

По правде говоря, я студент. Можно рассматривать примеры и неевклидовых геометрий. Однако ясно, что она не относится к геометриям постоянной кривизны. Поэтому здесь всё же стоит найти какую-то литературу по неевклидовым геометриям, кроме сферической и Лобачевского, к которым эта пирамида также не принадлежит.

(11 Май '13 13:05) MathTrbl

@nikolaykruzh...: а почему бы не рассмотреть такой совсем простой пример -- взять вместо пирамиды треугольник со сторонами, скажем, 6, 7, 8. Ясно, что для какого-то $%x > 1$% его стороны удовлетворяют уравнению $%6^x+7^x=8^x$%. Уместно ли на этом основании ставить вопрос о том, что он "принадлежит" какому-то особому "пространству"?

(11 Май '13 13:14) falcao

@falcao, это никакое не пространство, это точка на плоской кривой, лежащей в плоскости Евклида, - кругоиде, если вместо 6 и 7 поставить переменные величины; треугольник (6, 7, 8), вершина которого лежит на кругоиде степени x - и это вся информация из Вашего предложения. А вот пирамида, элементы которой рассчитаны c использованием степени x, - это уже пространство, которое вносит сумятицу в наши ряды: Евлидово оно или нет? @MathTrbl - оно не Евклидово, Вы, насколько можно судить, склонны считать его Евклидовым,@DocentI - что это вообще пустой вопрос и т. д. Как быть?

(11 Май '13 22:09) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: пирамида (про которую, кстати, пока так и не доказано, что её можно построить) в такой же степени является "пространством", как и треугольник со сторонами 6,7,8 является "плоскостью", рассчитанной с использованием степени $%x$%. Я согласен как с @DocentI, утверждающей, что постановка вопроса бессмысленна, так и с @MathTrbl, который утверждает, что при $%p\ne2$% на основе гёльдеровой нормы не построить пространство со скалярным произведением. Самый простой выход -- это признать, что Ваша конструкция не ведёт ни к каким интересным примерам новых "пространств".

(11 Май '13 22:42) falcao

@falcao, никаких новых "пространств" я не изобретал. Вопрос был один: если элементы пирамиды вычислены не по обычным квадратичным формулам, а по несколько другим, то является ли она Евклидовой? (в заголовке вопроса была видна моя позиция: пирамида Евклидова). В чём тут бессмысленность? Если она Евклидова, то как совместить это с требованием, что "при p≠2 на основе гёльдеровой нормы не построить пространство со скалярным произведением"? Если она не Евклидова, то чья она?. Ну, ладно: у меня в голове путаница, но у вас-то головы ясные!.. Признаю, как на духу: не изобретал, не состоял, не участво.

(12 Май '13 0:47) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: в математике нет понятия "евклидовой пирамиды", то есть так обычно не говорят. Можно в обычном трёхмерном евклидовом пространстве построить любую пирамиду, и ясно, что она будет самой обычной. А то, что у какого-то треугольника на евклидовой плоскости длины сторон удовлетворяют соотношению $%6^x+7^x=8^x$%, никак не влияет на факт о пространствах с нормой Гёльдера. Это чисто внешнее сходство. Гёльдерова норма вектора $%(6,7)$% равна 8. У треугольника стороны 6,7,8. Здесь 6 и 7 -- не координаты вектора. Связи не больше, чем между бузинОй в огороде и дядькой в Киеве.

(12 Май '13 1:06) falcao

@falcao, через несколько лет Вы и @DocentI как самое рядовое задание на занятиях по компьютерным технологиям будете давать своим студентам задачу: "Найти объём и площадь поверхности пирамиды, построенной на основе 4-угольника со сторонами 3, 4, 5, 6". Эта задача математическая? Да. Бессмысленная? В ней смысла не больше и не меньше, чем в недавно рассматривавшейся: $$m^{2} - m + 1 = n^{3}$$. Задача о пирамиде не могла возникнуть во времена П. Ферма, Л. Эйлера и даже Л. С. Понтрягина и А. Н. Колмогорова. Моей вины в том, что она возникла именно теперь, нет. Наш спор действительно пустой.

(12 Май '13 9:02) nikolaykruzh...

Я немного покопался в научной литературе. Я нашёл следующий результат: http://www.emis.mi.sanu.ac.rs/emis/journals/JIPAM/images/053_07_JIPAM/053_07_www.pdf (на английском языке) Там действительно вводится понятие угла между векторами в нормированном пространстве, причём следующим образом (для нормированных пространств): Введём функционал $%g(x,y)=\|x\|\lim_{t \to 0} \frac {\|x+ty\|-\|x\|}{t}$% и угол вводится по формуле $%\cos \varphi = \frac{g(x,y)+g(y,x)}{2\|x\|\|y\|}$% Но для этого надо проверить указанное в начале статьи неравенство.

(12 Май '13 9:11) MathTrbl

@nikolaykruzh...: вопросы об объёме пирамиды, о её существовании (!) и так далее -- это вопросы математические, и потому осмысленные. То же касается вопроса о решениях диофантова уравнения. Вопрос "чьё это пространство?" к этой категории не относится. Даже если сделать поправку на какие-то вещи "эвристического" характера, то всё равно не получается связать с этим примером какое-либо интересное пространство. Более того, если проследить аналогию со случаем $%x=2$%, то окажется, что у пирамиды некоторые плоские углы являются прямыми, а вовсе не то, что она из какого-то особого "пространства".

(12 Май '13 12:02) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
0

Вопрос: Чья эта пирамида? Ответ. @nikolaykruzh..

Вопрос: Если это пространство не Евклидово, то чьё оно? Ответ. Это не пространство.

ссылка

отвечен 12 Май '13 23:18

М-м-м-м (от удовольствия)... Уважаемая @DocentI! И как Вас Господь надоумил на такой восхитительный ответ?! А если серьёзно... Пирамида расположена в Евклидовом пространстве. Верно или нет? "Это не пространство" (Ваши слова) Что подразумевать под "это": Евклидово пространство, в котором расположена пирамида, или кусочек объёма, который занимает пирамида? Или они не отделимы друг от друга? Я уже просил @falcao ответить на вопрос: "Можно ли отрезки a, b, c, d считать векторами?" Но он пока молчит. А как Вы считаете? "Платон мне друг, но истина дороже" (поэтому не кликаю Ваш ответ)

(13 Май '13 10:29) nikolaykruzh...

@nikolaykruzh...: Вы понятие вектора используете в обычном школьном смысле или в обобщённом? Если первое, то вектор задаётся направленным отрезком. Тогда у построенной пирамиды на каждом ребре можно выбрать любое из направлений, и получится четыре вектора. Без заданного направления это будут просто отрезки, а не векторы. В обобщённом же смысле вектором можно считать элемент любого векторного (линейного) пространства.

(13 Май '13 10:50) falcao

@falcao, конечно, в школьном смысле! Слишком я далёк от обобщённого. Я имел в виду векторное равенство: $$(a + b + c) = d$$, из которого и следует исходное неравенство 4-угольника (или наоборот?), а значит, и неравенство пирамиды (если так можно выразиться). Сумма трёх векторов (последовательно направленных отрезков со стрелками) образует 4-ый вектор - ну, как всегда в векторной алгебре. Так можно их считать векторами? (без опасения, что скалярное произведение их не может быть равно нулю)

(13 Май '13 16:09) nikolaykruzh...

Можно ли считать 1, 2, 3 - числами? Смотрите:
1 кг, 2 кг, 3 кг
1 место, 2 место, 3 место
1 - существительное, 2 - глагол, 3 - прилигательное.
Везде вроде одни и те же числа. Но в первом случае величины можно складывать, во втором - сравнивать, в третьем - только различать.
Так и с векторами: мало назвать объект вектором, надо еще указать, какие действия с ним допустимы, какими свойствами они обладают.
Раз вы говорите, что это обычные, "школьные" вектора, то и пространство обычное, евклидово.
"Не мы для пространства, а пространство для нас". Какое мы выберем - такое и будет.

(13 Май '13 17:29) DocentI

@nikolaykruzh...: если речь о школьном смысле, то понятно, что сумма трёх "стрелок" будет равна четвёртой, если правильно расставить направления. Это следует из школьного же определения. Ваши сомнения в таком непосредственно очевидном факте как раз и побуждали предположить, что имелся в виду какой-то ещё смысл понятия вектора. Но такой факт верен для любых четырёх точек.

(13 Май '13 17:53) falcao

"По определению, в евклидовом пространстве вводится норма, с ним согласованная: ∥x∥=(x,x)−−−−√ "(см. выше у @MathTrbl в его Ответе). В данном случае такой нормы нет. Я всё время бьюсь головою о Ваше молчание по этому поводу. Если в данном случае норма - это КОРЕНЬ СТЕПЕНИ X ИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЯ X СОМНОЖИТЕЛЕЙ, ТО ЕВКЛИДОВО ЛИ ОНА? Доводы @DocentI с именованными числами даже ЕЖУ понятны, но они не по существу вопроса. Выбрать можно что угодно. "Какое мы выберем - такое и будет". Спасибо за щедрость! А как увязать Ваше богатство с моими возможностями? Дом купить не могу, а коза мне не нужна.

(14 Май '13 16:27) nikolaykruzh...

Что значит "нормы нет"? А как же вы узнали, что длина отрезка равна $%a$% или, скажем, $%b$%? Для этого и используется норма (и связанная с нею метрика). Нет нормы - нет и длин отрезков (векторов).

(14 Май '13 16:46) DocentI

@nikolaykruzh...: вопрос о том, что гёльдерова норма с параметром $%p$% не будет задавать скалярное произведение при $%p\ne2$%, обсуждался уже много раз. Сейчас Вы зачем-то снова его задаёте. Только почему-то речь зашла о корне из произведения -- наверное, это оговорка.

(14 Май '13 18:29) falcao

Толчём воду в ступе тремя-четырьмя толкачами. Расстояние в евклидовом пространстве между точками М(a, b,...k) и N (0, 0, ...0) $$MN = ((a - 0)^{2} + (b - 0)^{2} + ... + (k - 0)^{2})^{1/2}$$, а в нашей пирамиде это расстояние $$d = ((a^{x} + b^{x} + c^{x})^{1/x}$$. Ну, что мне - вывернуться наизнанку, чтобы вы услышали меня? Нету тут гёльдеровой нормы! Что из этого следует? Оказывается, бессмысленное желание автора изобрести новое "пространство". Мне не понятна эта ситуация, если вам понятна - объясните, какой выход; если тоже не понятна - не шейте мне ярлыков.

(14 Май '13 23:26) nikolaykruzh...

На основании этих данных на основе плоской фигуры в трёхмерном пространстве строим пирамиду, изображённую на рисунке. Все углы пирамиды определимы, сама она зафиксирована как некая определённая фигура.

Это вы пишете в начале построения пирамиды. При этом вы как-то измеряете в этом пространстве длины, как-то меряете углы. Как? Вот это и говорит о том, какое у вас пространство.
Откуда МЫ знаем, что вы понимаете под "расстоянием" и "углом"? Вы только показали, как можно вычислить некоторое число x и другие числа - e, f. Но числа - это одно, а соответствующие им точки - совсем другое.

(15 Май '13 0:02) DocentI

@nikolaykruzhilin1936, попробуйте исследовать то, что я написал в добавлении к ответу. Потому что если эту структуру рассматривать в квазиевклидовых пространствах, то там получаются неплохие геометрические результаты. Посмотрите, что у вас выйдет из этого определения угла.

@DocentI, я вынужден признать, что я был неправ. Есть научная работа, которая датируется 1931 годом, в которой вводится понятие угла в метрическком пространстве. Автор работы: Карл Менгер. Ccылка в добав. к ответу: http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN311571026_0045&DMDID=dmdlog13&LOGID=log13&PHYSID=phys52#navi

(15 Май '13 8:42) MathTrbl

@MathTrbl, я -то ладно. Боюсь, вашему оппоненту это все "темный лес". К сожалению, некоторое время назад у нас была большая переписка в личке, но дело не сдвинулось.

(15 Май '13 23:00) DocentI
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
0

Я сейчас увидел добавление от 18.05, поэтому хочу на него ответить. Лучше это было сделать в комментарии, но там нет места.

Той трудности, на которую Вы указали, вообще-то нет. То есть никакая пропорция не должна иметь место. Делается так: берутся положительные числа $%a < b < c$% и число $%x > 1$%, и потом уже по ним всё однозначно строится, то есть $%d$% равно $%(a^x+b^x+c^x)^{1/x}$% по построению, и то же для чисел $%e$%, $%f$%. То есть в этой части всё корректно. Как я отмечал в комментариях, существование пирамиды здесь надо ещё доказывать, но я подозреваю, что в данном случае это можно сделать. Однако я по-прежнему не разделяю мнения, что с этой фигурой можно связать какое-то интересное пространство (или хотя бы просто геометрическую фигуру). Скажем, есть много примеров пирамид, у которых в каждой грани имеется прямой угол, и эти примеры ни к чему особому не ведут -- ни к какой-то хорошей системе координат, ни к чему-то ещё. А здесь налицо аналог, где параметр $%x=2$% заменён на что-то ещё. Это мало чем отличается от треугольника со сторонами 6, 7, 8, который тоже можно считать аналогом прямоугольного для некоторого $%x > 1$%, но с ним не связано никаких интересных геометрических построений (типа, например, замощений или чего-то другого).

ссылка

отвечен 18 Май '13 23:12

@falcao! Вы внимательный и очень эрудированный человек. Интересно было бы сравнить Вашу эрудицию и эрудицию @Андрей Юрьевич, но этот последний почему-то дистанцировался от Сообщества. Хотя блистал! Не знаю, чем мы не угодили ему. Вся верхушка Форума - замечательные математики. Но - к Вашему ответу! При x = 2 пирамиду построить нельзя для равенства $$2^{2} +10^{2} + 11^{2} = 15^{2}$$. Когда я увидел это - обомлел и вспомнил Ваши неоднократные требования доказать, что пирамида как геометрический объект возможна в принципе. Так что сейчас Вы на моей прежней стороне, а я - на Вашей прежней.

(18 Май '13 23:36) nikolaykruzh...

Пирамида для того равенства, которое Вы сейчас рассмотрели, существует. Я проверил углы при вершине $%S$%. Все они острые, и их приближённые значения в градусах таковы: $%7.66$%, $%42.27$%, $%42.83$% (против $%a,b,e$% соответственно). Наибольший угол -- последний, и он меньше суммы двух оставшихся. Из этого следует возможность построения трёхгранного угла, в котором нижняя грань занимает своё место. Неравенство треугольника здесь верно для всех граней, что очевидно и в общем случае.

(19 Май '13 0:24) falcao

@falcao, смею с вами не согласиться по поводу геометрических построений. Если правильно выбрать пространство, то даже в неевклидовом пространстве можно получить неплохие результаты. В добавлении к своему ответу я приведу выдержку из статьи.

(19 Май '13 8:59) MathTrbl

@MathTrbl: я ничего не имею против новых исследований в области геометрии. Но в рассмотрении треугольника со сторонами 6,7,8 я не вижу ничего нового или перспективного. То же самое касается пирамид с определёнными длинами сторон. Бывает так, что предлагается какая-то конструкция с интересными свойствами, но здесь я их просто не вижу. Это не значит, конечно, что их нет, но если кто-то считает, что они есть, то он должен это как-то продемонстрировать.

(19 Май '13 9:46) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,315

задан
10 Май '13 17:04

показан
3051 раз

обновлен
7 Апр '14 8:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru