С помощью характеристических функций докажите закон больших чисел для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным вторым моментом

задан 7 Фев 21:54

10|600 символов нужно символов осталось
1

Из существования второго момента следует существование матожидания. Пусть оно равно $%a$%. Вычтем это значение. Получится с.в. с нулевым матожиданием и конечным вторым моментом. Х.ф. в нуле имеет разложение $%\phi(t)=1-c^2t^2+o(t^2)$%, где $%c$% -- константа.

Для среднего арифметического $%\frac{X_1+\cdots+X_n}n$%, х.ф. будет равна $%\phi(\frac{t}n)^n$%. Логарифмируя, имеем $%n\ln(1-\frac{c^2}{n^2}+o(\frac1{n^2}))=-\frac{c^2}n+o(\frac1n)$%, что стремится к нулю при $%n\to\infty$%. Значит, х.ф. среднего арифметического стремится к 1, то есть к х.ф. нулевой случайной величины. Из этого вытекает сходимость среднего арифметического к нулю по распределению. Для сходимости к константе, это можно усилить до свойства сходимости по вероятности. Прибавляя $%a$% к случайными величинам, имеем сходимость по вероятности к $%a$%, что и требовалось.

ссылка

отвечен 7 Фев 22:09

@falcao, а почему именно 2ого момента? По сути, нам ведь хватало и первого?

А также, из конечности 2ого момента же следует конечность 1ого?

(11 Фев 1:37) X_ray

@X_ray: то, что из конечности второго момента следует конечность первого, у меня сказано в первой же фразе. Но Вы правы в том, что такое же доказательство с характеристическими функциями проходит и при условии существования только первого момента. Я здесь как-то "поддался" на формулировку условия задачи, и не сразу это осознал. Тем более, что есть много других версий ЗБЧ, которые по-разному доказываются, и не все из них проходят на языке х.ф. Например, закон в форме Колмогорова, где величины могут быть и разнораспределёнными.

(11 Фев 2:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,369
×664

задан
7 Фев 21:54

показан
195 раз

обновлен
11 Фев 2:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru