|
С помощью характеристических функций докажите закон больших чисел для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным вторым моментом задан 7 Фев '19 21:54 
X_ray |
|
Из существования второго момента следует существование матожидания. Пусть оно равно $%a$%. Вычтем это значение. Получится с.в. с нулевым матожиданием и конечным вторым моментом. Х.ф. в нуле имеет разложение $%\phi(t)=1-c^2t^2+o(t^2)$%, где $%c$% -- константа. Для среднего арифметического $%\frac{X_1+\cdots+X_n}n$%, х.ф. будет равна $%\phi(\frac{t}n)^n$%. Логарифмируя, имеем $%n\ln(1-\frac{c^2}{n^2}+o(\frac1{n^2}))=-\frac{c^2}n+o(\frac1n)$%, что стремится к нулю при $%n\to\infty$%. Значит, х.ф. среднего арифметического стремится к 1, то есть к х.ф. нулевой случайной величины. Из этого вытекает сходимость среднего арифметического к нулю по распределению. Для сходимости к константе, это можно усилить до свойства сходимости по вероятности. Прибавляя $%a$% к случайными величинам, имеем сходимость по вероятности к $%a$%, что и требовалось. отвечен 7 Фев '19 22:09 
falcao @falcao, а почему именно 2ого момента? По сути, нам ведь хватало и первого? А также, из конечности 2ого момента же следует конечность 1ого?
(11 Фев '19 1:37)
X_ray
@X_ray: то, что из конечности второго момента следует конечность первого, у меня сказано в первой же фразе. Но Вы правы в том, что такое же доказательство с характеристическими функциями проходит и при условии существования только первого момента. Я здесь как-то "поддался" на формулировку условия задачи, и не сразу это осознал. Тем более, что есть много других версий ЗБЧ, которые по-разному доказываются, и не все из них проходят на языке х.ф. Например, закон в форме Колмогорова, где величины могут быть и разнораспределёнными.
(11 Фев '19 2:55)
falcao
|