|
Тут просто надо воспользоваться теоремами о пределе суммы и пределе частного. Предел числителя равен 3, предел знаменателя 5 -- вот и всё. Если ставилась другая задача -- доказать это равенство без использования теорем, с использованием только определения предела, то это отдельный вопрос. Если нужно именно это, я могу показать, как это делается. Добавление. Если имелось в виду доказательство на основании определения предела, то можно предложить следующее. Сначала, конечно, рассматриваем модуль разности, то есть $$\left|\frac{x_{n}+1}{x_{n}+3}-\frac35\right|=\frac25\frac{|x_n-2|}{|x_n+3|}.$$ Далее берём произвольное $%\varepsilon > 0$% и доказываем, что модуль разности будет меньше $%\varepsilon$% при всех достаточно больших $%n$%. Начнём со знаменателя. При больших $%n$% значение $%x_n$% близко к двум. Здесь нам не нужна слишком большая точность, поэтому найдём такое $%n_1$%, чтобы при всех $%n\ge n_1$% выполнялось неравенство $%|x_n-2| < 1$%. Здесь вместо $%1$% можно было бы взять любое другое положительное число, но нам достаточно единицы. Итак, при $%n\ge n_1$% выполнено двойное неравенство $%1 < x_n < 3$%. Следовательно, $%x_n+3 > 4$%. В частности, можно убрать знак модуля, и рассмотреть неравенство $%1/(x_n+3) < 1/4$%, откуда следует, что $$\left|\frac{x_{n}+1}{x_{n}+3}-\frac35\right|=\frac25\frac{|x_n-2|}{|x_n+3|} < \frac1{10}|x_n-2|.$$ Для того, чтобы результат получился меньше $%\varepsilon$%, достаточно выбрать $%n_2$% такое, что $%|x_n-2| < 10\varepsilon$% при $%n\ge n_2$%. Таким образом, беря $%n_0=\max(n_1,n_2)$%, мы приходим к выводу, что при всех $%n\ge n_0=n_0(\varepsilon)$% справедливо равенство $$\left|\frac{x_{n}+1}{x_{n}+3}-\frac35\right| < \varepsilon.$$ Поскольку $%\varepsilon > 0$% произвольно, это доказывает, что $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n+1}{x_n+3}=\frac35.$$ отвечен 10 Май '13 17:37 
falcao я доказал с использование теорем.но меня интересует 2 вариант доказательства.не могли бы все-таки показать, как это делается.кажется,сначала нужно рассмотреть модуль разности правой и левой частей..но что дальше?
(10 Май '13 17:43)
IvanLife
|
|
$$lim_{n\rightarrow\infty}x_n=2\Leftrightarrow \forall10\epsilon\quad \exists N(10\epsilon):n> N(10\epsilon)\Rightarrow |x_n-2|<10\epsilon.$$ $$\Bigg\vert\frac{x_n+1}{x_n+3}-\frac{3}{5}\Bigg\vert=\Bigg\vert\frac{2(x_n-2)}{5(x_n+3)}\Bigg\vert<\Bigg\vert\frac{2(x_n-2)}{5(1+3)}\Bigg\vert<\frac{10\epsilon}{10}=\epsilon,\quad n> N(10\epsilon)$$ отвечен 10 Май '13 17:54 
Anatoliy |
1) рассмотрел модуль разности
2) но что дальше ?????????