Картинка с рисунком по ссылке: https://imgur.com/a/T5umHS8 (не могу сюда вставить - репутация < 60).
1. Что дано (пояснение к картинке): три окружности Г1, Г2, Г3 имеют общую хорду AB. На Г1 и Г3 выбраны произвольные точки E и H соответственно. BE ⋂ Г2 = D, BE ⋂ Г3 = C, BH ⋂ Г2 = G, BH ⋂ Г1 = F.
2. Что надо доказать: ED / DC = FG / GH.
Сам я 8-классник, пробовал использовать степень точки, параллельный перенос, но я походу слишком тупой. Объясните, пожалуйста, кто-нибудь решение.

задан 7 Фев 22:59

10|600 символов нужно символов осталось
3

Я рассмотрел только случай когда точки $%C$% и $%D$% лежат на отрезке $%AE$%, а точки $%F$% и $%G$% лежат на отрезке $%AH$% ... случай когда эти точки вне отрезка видимо рассматривается аналогично...

alt text

Обозначим $%\angle BAC = \alpha$%, $%\angle BCA = \varphi_3$%, $%\angle BDA = \varphi_2$%, $%\angle BEA = \varphi_1$%... Понятно, что углы $%\varphi_1, \;\varphi_2,\;\varphi_1$% не зависят от положения хорды $%AE$%, поскольку опираются на одну хорду...

Применяя теорему синусов для треугольников $%ABC$% и $%ABD$%, получаем, что $$ \frac{BC}{\sin\alpha}=2R_3\;, \quad\quad \frac{DC}{\sin(\varphi_3-\varphi_2)}=\frac{BC}{\sin\varphi_2}\;, $$ откуда $$ DC = \frac{BC\cdot\sin(\varphi_3-\varphi_2)}{\sin\varphi_2} = \frac{2R_3\cdot\sin\alpha\cdot\sin(\varphi_3-\varphi_2)}{\sin\varphi_2} $$

Аналогичное применение теоремы синусов для треугольников $%ABD$% и $%ABE$% даёт $$ ED = \frac{BE\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1)}{\sin\varphi_1} = \frac{2R_2\cdot\sin\alpha\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1)}{\sin\varphi_1} $$

Итого, $$ \frac{ED}{DC} = \frac{R_2\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1)}{\sin\varphi_1} \cdot \frac{\sin\varphi_2}{R_3\cdot\sin(\varphi_3-\varphi_2)} $$

Для отношения второй пары отрезков рассуждения аналогичные... остаётся заметить, что $$ \angle BFA = 180^o-\varphi_3,\quad \angle BGA = 180^o-\varphi_2,\quad \angle BHA = 180^o-\varphi_1 $$

ссылка

отвечен 8 Фев 2:21

10|600 символов нужно символов осталось
3

Хороший рисунок) $$\angle BEA=\angle BFH,\ \ \ \angle ECB=\angle BHA\ , \ \ \angle ADB=\angle BGH \Rightarrow$$ $$\triangle ECB \sim \triangle FHB \ ,\ \ \triangle CDB \sim HGB \Rightarrow \dfrac {ED}{DC}=\dfrac {FG}{GH}$$

ссылка

отвечен 8 Фев 15:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,649
×235

задан
7 Фев 22:59

показан
91 раз

обновлен
8 Фев 15:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru