Про вещественные числа $%a, b$% и $%c$% известно, что $%abc + a + b + c = 10$%, $%ab + bc + ac = 9$%. Для каких чисел $%x$% можно утверждать, что хотя бы одно из чисел $%a, b, c$% равно $%x$%? (Найдите все такие числа $%x$% и докажите, что других нет.)

задан 8 Фев 22:31

10|600 символов нужно символов осталось
1

Полагая p=abc, раскроем скобки в произведении (x-a)(x-b)(x-c). Получится x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc=x^3-(10-p)x^2+9x-p=x(x^2-10x+9)+p(x^2-1)=(x-1)(x^2+9x+px+p). При x=1 имеет место обращение в ноль, а тогда левая часть также обращается в ноль, и среди чисел a, b, c присутствует 1.

Проверим, что никакие другие значения не могут гарантированно присутствовать. Без ограничения общности, полагаем c=1. Тогда оба равенства из условия становятся равносильны ab+a+b+1=10, то есть (a+1)(b+1)=10. Пусть x0 -- произвольное число. Чтобы избежать равенств a=x0, b=x0, достаточно взять в качестве a любое из чисел, отличное от -1, x0, 10/(x0+1)-1. Тогда b=10/(a+1)-1 также не равно x0.

ссылка

отвечен 8 Фев 22:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,339

задан
8 Фев 22:31

показан
96 раз

обновлен
8 Фев 22:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru