Докажите, что числа 3, 5, 8, 11, 12 и 20 не могут являться ни попарными суммами, ни попарными разностями, ни попарными произведениями, ни попарными частными некоторых четырёх вещественных чисел.

задан 9 Фев 2:40

10|600 символов нужно символов осталось
2

Для попарных сумм чисел a,b,c,d: если все 6 таких попарных сумм сложить, то будет 3(a+b+c+d). Здесь получится a+b+c+d=59/3. Однако a+b и c+d целые, и их сумма не может быть дробной. Можно также заметить, что числа из условия нельзя разбить на три пары с одинаковыми суммами.

Для попарных разностей: если были числа a < b < c < d, то мы берём разности большего и меньшего. При этом наибольшая разность d-a должна быть суммой трёх наименьших, если это b-a, c-b, d-c. Но 3+5+8 не равно 20. Значит, наименьшие значения принимаются в пределах одной из троек. Если это a, b, c, то d-a=20, c-a=8, то есть d-c=12. Но при этом 11 уже не получается. Если тройка b, c, d, то b-a=12, и разность 11 также не возникает.

Для частных: одно из отношений равно 11, но никакое другое не делится на 11, и 11 ни на что другое не делится. Для ясности: если a < b < c < d, то попарные частные имеют вид x, y, z, xy, yz, xyz, где x=b/a, y=c/b, z=d/c. Все числа здесь целые, и тогда понятно, что 11 не может присутствовать.

Для попарных произведений: поскольку ab и cd целые, то произведение abcd целое. Аналогично первому пункту, здесь после перемножения всех чисел из условия должен получаться точный куб, но это явно не так (делимость на 11, но не на степень).

ссылка

отвечен 9 Фев 3:22

@falcao, большое спасибо!

(9 Фев 18:42) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,128
×229
×10
×8
×1

задан
9 Фев 2:40

показан
106 раз

обновлен
9 Фев 18:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru