Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, пересекаются в точке М , и известно, что AB+ CD=AD+BC. Докажите, что тогда AМ=МC или BМ=МD. Следует ли из равенства AB+ CD=AD+BC,то вокруг четырехугольника можно описать окружность?

задан 9 Фев 9:51

@Верик: на всякий случай -- равенство сумм длин противоположных сторон -- это известный критерий для описанного четырёхугольника. Для вписанного -- это 180 градусов для сумм противоположных углов.

(11 Фев 0:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Обозначим $%MA, MB, MC, MD$% как $%a,b,c,d$% ... тогда равенство из условия перепишется как $$ \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{a^2+d^2}+\sqrt{b^2+c^2} $$ Пусть $%b > d$%, тогда перепишем равенство $$ \sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{a^2+d^2}=\sqrt{c^2+b^2}-\sqrt{c^2+d^2} $$ Дальше рассматриваете функцию $$ f(x)=\sqrt{x^2+b^2}-\sqrt{x^2+d^2} $$ показываете, что она монотонна, то есть равенство $%f(a)=f(c)$% возможно только при $%a=c$%...

Следует ли из равенства AB+CD=AD+BC,то вокруг четырехугольника можно описать окружность? - нет... например, ромб...

ссылка

отвечен 10 Фев 22:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×669

задан
9 Фев 9:51

показан
105 раз

обновлен
11 Фев 0:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru