Имеет ли уравнение $%\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n^2-1}+\frac{1}{n^2}=1$% решение в натуральных числах?

задан 9 Фев 9:57

Известный факт, что никакая сумма двух и более идущих подряд членов гармонического ряда не является целым числом. И доказывается просто. Степени двойки вам помогут.

(9 Фев 13:03) spades

Однако это уравнение допускает тривиальное решение

(9 Фев 13:05) spades
10|600 символов нужно символов осталось
3

Положим a(n)=1/n+...+1/n^2. Очевидно, что a(1)=1, то есть тривиальное решение имеется. Других решений нет, так как последовательность строго возрастает. Неравенство a(1) < a(2) проверяется непосредственно. При n>=2 имеем a(n+1)-a(n)=1/(n^2+1)+...+1/(n+1)^2-1/n. Слагаемых кроме последнего имеется 2n+1, и их сумма больше (2n+1)/(n+1)^2. Вычитая 1/n, имеем (n^2-n-1)/(n(n+1)^2). Эта величина при n>=2 положительна, откуда a(n+1) > a(n).

ссылка

отвечен 9 Фев 13:24

1

@falcao, еще простой вариант оценки суммы снизу на основе неравенства ln(1+1/n)<1/n

(9 Фев 13:52) Urt
1

@Urt: это правда, но задачи такого типа обычно дают для школьников, ещё не изучавших натурального логарифма. Поэтому оценки там получаются менее точные.

(9 Фев 14:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×741
×664

задан
9 Фев 9:57

показан
85 раз

обновлен
9 Фев 14:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru