Заступорился уже на построении смежных классов. Кольцо a+bi. Подкольцо (1+i)(a+b*i)

задан 9 Фев 21:12

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если строится факторкольцо, то должен быть указан идеал, а не подкольцо. Здесь он и указан, только назван не тем словом. Это главный идеал элемента 1+i. Введём обозначение x ~ y, означающее, что x-y принадлежит идеалу. То есть [x]=[y] (смежные классы по идеалу равны). Тогда i ~ -1, и a+bi ~ a-b. Это целое число. Далее, -1=i^2 ~ (-1)^2=1, то есть 2 ~ 0. Это значит, что любые целые числа одной чётности эквивалентны, то есть классов всего два: класс нуля [0] и класс единицы [1].

Факторкольцо состоит из двух элементов. Оно изоморфно полю {0,1} из двух элементов.

Можно ещё рассуждать так: элементы идеала имеют вид (1+i)(a+bi)=a-b+(a+b)i, где a, b -- произвольные целые. Числа a-b, a+b имеют одинаковую чётность. Кроме того, для любых чисел m, n одинаковой чётности, система a-b=m, a+b=n имеет решение a=(m+n)/2, b=(n-m)/2. Вывод: элемент m+in принадлежит идеалу тогда и только тогда, когда m, n -- числа одной чётности.

Вывод: если взять произвольный элемент кольца Z[i] вида m+in, то либо m, n имеют одну чётность, и смежный класс совпадает со смежным классом нуля. Либо разную, и тогда m+in=1+(m-1)+in, где уже m-1, n имеют одну и ту же чётность, и получается смежный класс единицы.

ссылка

отвечен 9 Фев 22:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×235
×43

задан
9 Фев 21:12

показан
112 раз

обновлен
9 Фев 22:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru