1)Показать, что для любой m x s матрицы A и для любой s x n матрицы B имеет место неравенство rank(A) + rank(B) - s <= rank(AB) $$ $$ 2)Показать, что если ABC = 0 для квадратных матриц A, B, C порядка n, то rank(A) + rank(B) + rank(C) <= 2n

задан 10 Фев 14:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Матрица AB имеет размер mxn, поэтому размерность (под)пространства решений W однородной системы с матрицей AB равна n-rk(AB). Если w -- решение такой системы (вектор-столбец из R^n), то Bw -- решение однородной системы с матрицей A. Это значит, что BW содержится в Ker A, откуда dim(BW)<=dim(Ker A)=s-rk(A) по той же формуле для размерности подпространства решений.

Ядро ограничения на W линейного отображения B равно пересечению W n Ker B. Факторпространство по ядру изоморфно образу, а размерность пространства равна сумме размерностей ядра и образа. Отсюда dim W=dim(BW)+dim(W n Ker B), что не превосходит dim(BW)+dim(Ker B), где последнее слагаемое равно n-rk(B). Таким образом, n-rk(AB)=dim W<=s-rk(A)+n-rk(B), то есть rk(AB)>=rk(A)+rk(B)-s.

2) Дважды используя первый пункт, имеем как следствие, что 0=rk(ABC)>=rk(AB)+rk(C)-n>=rk(A)+rk(B)+rk(C)-2n.

ссылка

отвечен 10 Фев 19:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,082
×348
×12

задан
10 Фев 14:01

показан
61 раз

обновлен
10 Фев 19:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru