Последовательность чисел $%t(1),t(2),... ,t(n)$% называется перестановкой длины $%n$%, если каждое из чисел $%1, 2,..., n$% встречается в этой последовательности ровно один раз. Например, $%t(1) = 3, t(2) = 2, t(3) = 1$% - перестановка длины $%3$%. Найдите все $%n$%, для которых найдется перестановка $%t(1),t(2),... ,t(n)$%, удовлетворяющая четырем условиям:

• Числа $%t(i) — i$% для всех $%i$% от $%1$% до $%n$% включительно имеют попарно различные остатки от деления на $%n$%.

• Числа $%t (i) — 2i$% для всех $%i$% от $%1$% до $%n$% включительно имеют попарно различные остатки от деления на $% n$%.

• Числа $%t(i) — 3i$% для всех $%i$% от $%1$% до $%n$% включительно имеют попарно различные остатки от деления на $%n$%.

• Числа $%t (i) — 4i$% для всех $%i$% от $%1$% до $%n$% включительно имеют попарно различные остатки от деления на $%n$%.

задан 12 Фев 22:25

10|600 символов нужно символов осталось
0

Изложу пока рассуждение в одну из сторон. В другую сторону должен быть какой-то совсем простой аргумент, и мне даже казалось, что я его нашёл, но проверка показала, что он не подходит. Может, кто подскажет по ходу дела.

Пусть $%n$% не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Рассмотрим перестановку чисел в обратном порядке: $%n$%, $%n-1$%, ... , $%1$%. Она даётся формулой $%\sigma(i)=n+1-i$% при $%1\le n$%. Рассмотрим число $%d\in\{1,2,3,4\}$% и проверим, что все числа вида $%\sigma(i)-di$% дают попарно различные остатки от деления на $%n$%. Если это не так, то при $%1\le i < j\le n$%, разность двух чисел $%\sigma(i)-di=n+1-(d+1)i$% и $%\sigma(j)-dj=n+1-(d+1)j$% делится на $%n$%, то есть $%(d+1)(j-i)$% кратно $%n$%. Однако $%n$% взаимно просто с любым числом от 2 до 5, поэтому получается, что $%j-i$% кратно $%n$%, чего быть заведомо не может.

Интересно, что это вроде бы единственная подходящая подстановка, что верно для небольших значений $%n$%, но это лишь предположение. Интересно было бы его заодно доказать или опровергнуть.

ссылка

отвечен 12 Фев 22:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,248

задан
12 Фев 22:25

показан
52 раза

обновлен
12 Фев 22:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru