Разложить функцию f(x)=e^x*sinx в ряд Фурье по полиномам Эрмита.

Честно сказать, я даже литературы особо не нахожу, не смотря уже на примеры, помогите, пожалуйста, решить эту задачу.

задан 14 Фев 1:14

изменен 14 Фев 1:15

10|600 символов нужно символов осталось
4

Многочлен Эрмита имеет вид $%H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$%. Эта система ортогональна на $%(-\infty,\infty)$% с весом $%e^{-x^2}$%. Норма $%||H_n||=\sqrt{2^nn!\sqrt{\pi}}$%. Ряд Фурье по этой системе $%\sum \limits_{n=0}^\infty c_nH_n(x)$%, где $%c_n=\frac{1}{||H_n||}\int\limits_{-\infty}^\infty e^x\sin x H_n(x)e^{-x^2}dx=\frac{1}{||H_n||}\int\limits_{-\infty}^\infty e^x\sin x(-1)^n\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}dx$%. Далее интегрируем по частям сколько надо раз, понижая порядок производной экспоненты. Внеинтегральный член в такой подстановке будет постоянно обнуляться из-за $%e^{-x^2}$%. Производная от $%e^x\sin x$% будет давать либо $%e^x\sin x$%, умноженную на константу, либо $%e^x\cos x$%, либо их линейную комбинацию (коэффициенты надо отслеживать). Ну и останется просчитать интегралы $%\int\limits_{-\infty}^\infty e^x\sin xe^{-x^2}dx$% и такой же с косинусом.

По-видимому, самый быстрый способ такой: представим $%\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}$% и разобьем наш интеграл на два. Один из них будет от функции $%e^{-x^2+(1+i)x}$%. Выделяя в степени полный квадрат, получим $%-\left(x-\frac{1+i}{2}\right)^2+\frac{i}{2}$%, тогда, выполняя в интеграле замену $%t=x-\frac{1+i}{2}$%, приходим к интегралу Пуассона, и в ответе будет $%\sqrt\pi e^{\frac{i}{2}}$%. Аналогично поступаем со второй экспонентой и собираем ответ $%\sqrt\pi \sin{\frac{1}{2}}$%. С косинусом будет аналогично. Будет ли хорошая закономерность в итоговых коэффициентах, я не проверял, попробуйте посчитать так начальные коэффициенты и посмотреть.

ссылка

отвечен 14 Фев 7:05

изменен 14 Фев 7:21

@caterpillar, спасибо Вам, за ответ, у меня только возникли проблемы с интегрированием, не получается проследить, какие будут коэффициенты, если можно, помогите, пожалуйста, ввести ясность в ситуацию.

(20 Фев 0:56) Ivan120

Если дифференцировать $%e^x\sin x$% по порядку, то получается периодически: $%e^x\sin x$%, $%e^x\sin x+e^x\cos x$%, $%e^x\cos x$%, $%e^x\cos x-e^x\sin x$% и так по кругу. Коэффициенты при этих функциях будут 1,1,2,2 (первая четвёрка), -4,-4,-8,-8 (вторая), 16,16,32,32, и т.д. Ряд чисел понятный, но не уверен, что можно построить единую закономерность без использования комплексных чисел. Мне кажется, тут можно просто указать коэффициент, как $%a_n$%, и написать последовательность, из которой всё понятно.

(20 Фев 4:38) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,067
×650
×65

задан
14 Фев 1:14

показан
88 раз

обновлен
20 Фев 4:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru