а) Докажите, что отношение натурального числа к сумме его делителей, не равное $%\dfrac{3}{8}$%, может быть сколь угодно близким сверху к $%\dfrac{3}{8}$%.

б) А может ли это отношение равняться $%\dfrac{3}{8}$%?

задан 15 Фев 22:23

10|600 символов нужно символов осталось
3

б) Да, может. При $%n=84$% имеем $%\sigma(84)=\sigma(2^2\cdot3\cdot7)=7\cdot4\cdot8$%, откуда $%\frac{n}{\sigma(n)}=\frac38$%.

а) Известно, что функция $%\sigma(n)$% (сумма натуральных делителей $%n$%) мультипликативна, то есть $%\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)$% для взаимно простых $%m$%, $%n$%.

Пусть $%n=3\cdot2^k$%. Тогда $%\sigma(n)=\sigma(3)\sigma(2^k)=4(2^{k+1}-1)$%. При этом $%\frac{n}{\sigma(n)}=\frac{3\cdot2^k}{8\cdot2^k-4}$% больше $%\frac38$% и стремится к этому значению при $%k\to\infty$%.

ссылка

отвечен 15 Фев 23:06

@falcao, большое спасибо!

(16 Фев 1:19) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru