alt text

задан 11 Май '13 16:32

изменен 12 Май '13 0:05

Deleted's gravatar image


126

нашел одз; возвел обе части в квадрат; еще раз в квадрат - но как дальше? и правильно ли я делаю?

(11 Май '13 16:34) IvanLife

при возведении в квадрат в ОДЗ добавляются условия для отбрасывания лишних корней...

(11 Май '13 16:51) all_exist

одз=

1) 4cos^2(x)-7cos^4(x)>=0

2)1-sqrt(4cos^2(x)^-7cos^4(x))>=0

все в системе.

(11 Май '13 17:10) IvanLife

Можно и так... Просто когда решается уравнение, то на решении некоторые неравенства будут выполняться автоматически...

Например, изначально слева и справа стоят положительные выражения... после возведения в квадрат получаете $$(1-\cos(x))^2 = 1-\sqrt{4cos^2(x)-7cos^4(x)}$$ поскольку слева стоит положительное выражение, то второе неравенство ОДЗ на полученном решении будет выполнено автоматически...

(11 Май '13 17:17) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
2

$%1-cosx=\sqrt{1-\sqrt{4cos^2x-7cos^4x}}\Leftrightarrow (1-cosx)^2=1-\sqrt{4cos^2x-7cos^4x}\Leftrightarrow $%

$%1-2cosx+cos^2x=1-\sqrt{4cos^2x-7cos^4x}\Leftrightarrow 2cosx-cos^2x=\sqrt{4cos^2x-7cos^4x}$%

$%\Leftrightarrow \begin{cases}4cos^2x-4cos^3x+cos^4x=4cos^2x-7cos^4x \\2cosx-cos^2x\ge0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}8cos^4x-4cos^3x=0\\ cosx\ge 0 \end{cases}$% $% \Leftrightarrow \begin{cases}cos^3x(2cosx-1)=0\\ cosx\ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}cosx=0 ; cosx=0,5\\ cosx\ge 0 \end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}2+\pi k ; x=\pm\frac{\pi}3+2\pi k (k\in Z)$%

ссылка

отвечен 11 Май '13 17:21

изменен 11 Май '13 21:30

Вроде из $$2\cos(x)-\cos^2(x)\ge 0 \Rightarrow 0 \le \cos(x) \le \frac{1}{2}$$ на ответе это конечно не скажется, но всё-таки...

(11 Май '13 17:28) all_exist

Нет, в этом неравенстве нет ограничения cosx<=1/2

(11 Май '13 17:40) epimkin

да, мой косяк... посыпал бы голову пеплом, да смайлов нет... ))

(11 Май '13 17:42) all_exist

@ASailyan: подправьте, пожалуйста, в самом конце выражения для $%x$% -- там надо $%\pm$% добавить. Косинус будет неотрицателен так и так, а других ограничений нет.

(11 Май '13 18:04) falcao

Да, конечно . Я спешила и допустила ошибки (перепутала с синус), спасибо, сейчас исправлю.А $%\pm,$% и $%\pi k,$% сразу вспомнила, но не была компьютера чтобы исправить, надеюсь других ошибок нет.

(11 Май '13 21:21) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
2

$$1-cosx=\sqrt{1-\sqrt{4cos^2x-7cos^4x}}\Leftrightarrow2cosx-cos^2x=\sqrt{4cos^2x-7cos^4x}\Leftrightarrow $$$$cosx(2-cosx)=|cosx|\sqrt{4-7cos^2x}.$$ $$1)cosx=0,x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k \in Z.$$ $$2)cosx>0,\quad2-cosx=\sqrt{4-7cos^2x}\quad\Leftrightarrow cosx=\frac{1}{2}...$$ $$3)cosx<0,\quad2-cosx=-\sqrt{4-7cos^2x}\Leftrightarrow \oslash .$$

ссылка

отвечен 11 Май '13 17:32

изменен 11 Май '13 17:44

10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

проверял на компьютере.

ссылка

отвечен 11 Май '13 17:38

кажется правильно?

(11 Май '13 17:39) IvanLife
1

Зачем находить ОДЗ (не только в этом примере), если можно провести равносильные преобразования? ОДЗ, говорят, придумали злобные преподаватели-математики

(11 Май '13 18:17) epimkin

epimkin, решите без ОДЗ уравнение $%\sqrt{x+1}=\sqrt{2x+3}$%...

(11 Май '13 18:29) all_exist

Это можно. Например так $%\sqrt{x+1}=\sqrt{2x+3}\Leftrightarrow \begin{cases} x+1=2x+3\2x+3\ge0 \end{cases}$%

(11 Май '13 21:53) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
2

@all_exist: я считаю, что @epimkin здесь совершенно прав. Речь ведь идёт о равносильных преобразованиях, то есть при переходе от $%\sqrt{A}=\sqrt{B}$% к $%A=B$% должен быть предусмотрен обратный переход, и он будет состоять из одного неравенства: $%A\ge0$% или $%B\ge0$% -- которое будет удобнее. "Порочность" идеи ОДЗ в том, что её часто учат находить бездумно -- даже там, где в этом нет необходимости. Соответственно, есть специальные примеры, которые призваны от этого отучать :)

ссылка

отвечен 11 Май '13 18:39

falcao, как говорится "Whom how" :) ... По-моему, лучше давать один способ решения, чем занимать голову десятками частных случаев... Но здесь кому как нравится...

(11 Май '13 18:50) all_exist

Это я и имел ввиду. Есть ведь примеры, которые решаются только нахождением ОДЗ. А то многие примеры (как вышеприведенный только без второго радикала) решают так: находят ОДЗ (что под корнем >=0, а потом получают корни, входящие в ОДЗ, но превращающие правую часть в отрицательное число. На такое замечание говорят:"А мы подставим и проверим". Но если подставлять и проверять, то зачем его вообще находить?

(11 Май '13 18:53) epimkin
1

@all_exist: тут дело не в частных случаях, а в необходимости проводить равносильные преобразования -- для тех случаев, когда это делается без труда. Вот простой пример: уравнение вида $%A=\sqrt{B}$%. У меня есть подозрение, что те, кто о равносильности не думает, а приучен учитывать ОДЗ, могут написать неравенство $%B\ge0$%, и на этом основании заключить, что теперь-то возводить в квадрат уже можно! Что было бы грубой ошибкой. А какого-то одного способа, пригодного на все случаи жизни, всё равно нет.

(11 Май '13 18:57) falcao

epimkin, при решении уравнения ОДЗ достаточно выписать... а решать эти неравенства не надо... проверить - да... (но это если Вы по ходу решения не увидели их автоматического выполнения)....

(11 Май '13 18:57) all_exist

falcao, Ваш пример относится к вопросу правильности выписывания ОДЗ... написать $%B\ge 0$% не ошибка (это можно отнести к нерациональности решения)... ошибкой будет не написать условие $%A\ge 0$%...

(11 Май '13 19:03) all_exist
1

@all_exist: так я как раз и говорю о том, что это условие является заведомо излишним. Тот, кто его выписывает "механически", просто не видит того, что оно следует из равенства $%A^2=B$%, а это плохо.

(11 Май '13 19:13) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×752
×752
×417

задан
11 Май '13 16:32

показан
1843 раза

обновлен
11 Май '13 21:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru