|
Помогите, пожалуйста, разобраться, как это делать. $$\int_0^2dx\int_x^{\sqrt{4x-x^2}}f(x,y)dy$$ задан 12 Фев '12 11:26 
Антон Федорцов |
|
Надо для начала нарисовать фигуру, ограниченную $$y=x, y=\sqrt{4x-x^2}, x=0, x=2$$, а затем задать границы интеграла , (та же фигура) только в другом порядке: ограничивающие точки по y брать, а линии входа и выхода из фигуры по x (выраженные через y). В итоге может получиться не один интеграл. отвечен 12 Фев '12 12:00 
Hedgehog такс, фигуру нарисовал, а вот я еще линию входа и выхода не понял как находить!((((
(12 Фев '12 12:14)
Антон Федорцов
Как бы объяснить без рисунка? если сначала при 0<x<2 можно было от оси x не отрывая карандаша провести линию, при этом пересекалась сначала прямая $$y=x$$ (вход в фигуру), а потом $$y=\sqrt{4x-x^2}$$ (выход). То теперь наоборот при 0<y<2 (по рисунку) можно от оси y не отрывая карандаша провести линию, при этом будет пересекаться сначала прямая $$x=y$$ (вход в фигуру), а потом $$x=2+\sqrt{4-y^2}$$ (выход). Получится все-таки один интеграл. Если я все же непонятно объясняю, то нарисую позже.
(12 Фев '12 12:49)
Hedgehog
ну если можно то все таки на рисунке)
(12 Фев '12 13:08)
Антон Федорцов
Ответ случаем не $$\int_0^2 dy \int_y^{(x^2+y^2)/4} f(x,y)dx$$
(12 Фев '12 13:23)
Антон Федорцов
|
|
Фигура, заданная вам по условию, лежит между прямой y=x и верхней полуокружностью с центром в точке (2, 0) и радиусом R=2. Поэтому, если провести луч, параллельный оси oy, через внутреннюю точку области интегрирования, получим, что точки входа этого луча лежит на прямой $%y=x$% ( это является нижним пределом интегрирования внутреннего интеграла), а точки выхода луча лежат на верхней полуокружности $%y=+\sqrt{4x-x^2}$% (это является верхним пределом интегрирования). Пределы интегрирования внутреннего интеграла находятся как абсциссы (то есть x) точек концов отрезка, в который спроектируется заданная область, то есть от 0 до 2 (и внешний интеграл будет интегрироваться по dx). Теперь надо сделать все наоборот: провести луч, параллельный оси OX и проектировать область интегрирования на ось OY (внешний интеграл будет по dy от 0 до 2). А чтобы определить нижний предел интегрирования внутреннего интеграла по dx, надо определить, где лежат точки входа луча, параллельного оси OX, выразив из уравнения переменную x. По рисунку будет видно, что точки входа лежат на левой полуокружности $%x-2=-\sqrt{4-y^2}$%. (К слову, правая полуокружность имела бы уравнение такое: $%x-2=+\sqrt{4-y^2})$%. Отсюда $%x=2-\sqrt{4-y^2}$%. Правая часть последнего равенства и есть нижний предел интегрирования внутреннего интеграла. Точки выхода луча лежат на прямой $%y=x$%. Но нам необходимо знать, чему равны абсциссы на этой прямой : $%x=y$%. Значит верхний предел будет y. Замечание: чтобы выразить x из уравнения окружности, надо возвести в квадрат ур-ие $%y=\sqrt{4x-x^2}$%, получим $%y^2 =4x-x^2, y^2+x^2-4x=0$%. Затем выделить полный квадрат из $%x^2-4x$%. Получим $%x^2-4x=(x-2)^2-4$%. Затем выразить $%x-2=\pm\sqrt{4-y^2}$%. Выбираем знак "-" перед корнем, т. к. для левой полуокружности $%x<2$%, то есть $%(x-2)<0$%. Затем выразим x. отвечен 12 Фев '12 14:22 
nadyalyutik |