Пусть $$f(x)=\int\limits_{0}^{x}\sin\left(\dfrac{1}{t}\right)dt$$ Существует ли $%f'(0)$% и почему?

задан 17 Фев '19 17:14

2

Надо воспользоваться определением производной и правилом Лопиталя. Чтобы всё было корректно, интеграл в числителе стОит разбить, как $%\int\limits_0^x=\int\limits_0^\delta+\int\limits_\delta^x$% Само по себе это ответа не даст (из несуществования предела отношения производных ничего не следует), но на мысль натолкнёт. Поэтому далее, видимо, надо сделать замену y=1/t и проинтегрировать по частям. Скорее всего это даст одно недифференцируемое слагаемое и одно дифференцируемое. Хотя нет, чего-то не даёт, надо подумать тогда.

(17 Фев '19 17:54) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
7

Если нигде не ошибаюсь в технике, то получилось вот что (замена и интегрирование по частям, потом правило Лопиталя): $$\lim\limits_{x\to0}\frac{\int\limits_\frac{1}{x}^\infty\frac{\sin t}{t^2}dt}{x}=\lim\limits_{x\to0}\left(x\cos\frac{1}{x}-2\frac{\int\limits_\frac{1}{x}^\infty\frac{\cos t}{t^3}dt}{x}\right)=0$$ Признаться, неожиданный для меня результат.

ссылка

отвечен 17 Фев '19 19:01

3

В самом деле, выглядит очень неожиданно. А поначалу казалось, что f(x)/x не имеет предела.

(17 Фев '19 20:31) falcao

@caterpillar, большое спасибо!

(18 Фев '19 2:23) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,483
×1,315
×1,226
×322
×1

задан
17 Фев '19 17:14

показан
255 раз

обновлен
18 Фев '19 2:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru