Если горизонтальные последовательности модулей на этой диаграмме точные, а альфа и бета - изоморфизмы, то как доказать, что гамма тоже изоморфизм? Непонятно, как за данные условия зацепиться.

задан 17 Фев '19 22:39

изменен 18 Фев '19 0:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для начала проверим, что $%\gamma$% сюръективно. Возьмём любой элемент $%c'\in C'$%. Он является прообразом некоторого $%b'\in B'$%, так как $%\phi'$% сюръективно. Поскольку $%\beta$% -- изоморфизм, имеется прообраз $%b$% относительно $%\beta$% у $%b'$%. При $%\phi$% элемент $%b$% переходит в некоторый $%c\in C$%, образ которого при $%\gamma$% равен $%c'$% в силу коммутативности диаграммы.

Теперь проверим, что ядро $%\gamma$% нулевое. Для удобства я буду везде писать отображение справа от аргумента. Итак, пусть $%c\in{Ker\,}\gamma$%, то есть $%c\gamma=0$%. Ввиду сюръективности $%\phi$% находим $%b\in B$% такой, что $%b\phi=c$%. Тогда $%b\phi\gamma=0$%, то есть $%b\beta\phi'=0$% ввиду коммутативности диаграммы. Значит, $%b\beta\in{Ker\,}\phi'=Im\,\psi'$%. Полагаем $%b'=b\beta=a'\psi'$% для некоторого $%a'\in A$%, который равен $%a'=a\alpha$% (образ $%a\in A$% при изоморфизме). Значит, $%a\psi\beta=a\alpha\psi'=a'\psi'=b'=b\beta$%. Из этого следует, что $%b=a\psi$%, так как $%\beta$% -- изоморфизм. В частности, $%b\in{Im\,}\psi={Ker\,}\phi$%, то есть $%c=b\phi=0$%. Итого $%{Ker\,}\gamma=0$%.

ссылка

отвечен 17 Фев '19 23:31

А если бы бета и гамма были биективны, альфа было бы биективно? Или если бы альфа и гамма были бы биективны, бета было бы биективно? (Если ответы на эти вопросы очевидны)

(18 Фев '19 0:01) Slater

@Slater: сходу точно сказать не могу, но есть подозрение, что нет.

(18 Фев '19 0:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,727
×96

задан
17 Фев '19 22:39

показан
248 раз

обновлен
18 Фев '19 0:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru