3
1

Пусть $%N$% - собственный подмодуль $%R$%-модуля $%M$%. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:

1) Не существует подмодуля $%P\le M$% такого что $% N < P < M$% (включения собственные)

2) У модуля $%M/N$% ровно 2 подмодуля

3) $%M/N\simeq R/I$% для некоторого макс. идеала $%I$%

1) => 3) наверное следует из https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism_theorems#Third_isomorphism_theorem_3

А про 2)=>3) и 3)=>1) непонятно.

задан 18 Фев 8:20

изменен 18 Фев 11:30

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


4.7k210

10|600 символов нужно символов осталось
1

Утверждения 1) и 2) равносильны, что сразу следует из теоремы о гомоморфизмах (взаимно однозначное соответствие между подмодулями M/N и подмодулями M, содержащими N). Это совсем стандартно, и можно на таких вещах не останавливаться.

Рассмотрим пункт 3. Есть понятие простого R-модуля. Это такой ненулевой модуль M, в котором нет подмодулей кроме (0) и M. Опишем их структуру.

Возьмём ненулевой элемент a из M. Рассмотрим подмодуль Ra. Он ненулевой (кольцо имеет единицу). Значит, M=Ra, то есть это циклический модуль. Рассмотрим отображение f:R->M по правилу f(r)=ra. Оно сюръективно, и это гомоморфизм R-модулей. Значит, M изоморфно R/J, где J=Ker f. То есть заодно мы знаем, что M есть фактормодуль R. Ввиду того, что M прост, между J и R нет идеалов в R (каждый такой идеал давал бы собственный подмодуль в R/J). Значит, идеал J максимален. То есть простой модуль изоморфен M/J, и любой максимальный идеал даёт пример такого простого R-модуля.

Это доказывает пункт 3, только удобно это делать для абстрактного модуля M, про который мы знаем, что он простой. Потом это можно применить к модулю, являющемуся фактормодулем.

ссылка

отвечен 19 Фев 1:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,123
×1,688
×377
×233
×2

задан
18 Фев 8:20

показан
107 раз

обновлен
19 Фев 1:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru