$$(12\sin x-5\cos x)(13\cos2x-20\cos x-11)=362$$

задан 11 Май '13 22:36

изменен 12 Май '13 1:08

falcao's gravatar image


162k1129

10|600 символов нужно символов осталось
1

Первый сомножитель можно представить в виде $%-13(\sin\alpha\sin x+\cos\alpha\cos x)=-13\cos(x-\alpha)$%, где $%\alpha$% удовлетворяет условиям $%\cos\alpha=5/13$%, $%\sin\alpha=-12/13$%, и в качестве такого значения годится $%\alpha=-\arccos(5/13)$%. Тем самым, первый сомножитель принимает значения от $%-13$% до $%13$%.

Второй сомножитель преобразуем в соответствии с формулой косинуса двойного угла. Он равен $%26\cos^2x-20\cos x-24$%. Рассмотрим функцию $%f(t)=26t^2-20t-24$% на отрезке $%[-1,1]$%. Её единственная критическая точка $%t=5/13$% принадлежит этому отрезку, и значение функции в ней равно $%f(5/13)=50/13-100/13-24=-362/13$%. Значения на концах равны $%f(-1)=22$% и $%f(1)=-18$%. Таким образом, множество значений функции, а потому и множество значений второго сомножителя, равно $%[-362/13;22]$%. Заметим, что $%362/13 > 22$%. Из чего ясно, что модуль левой части уравнения не превосходит $%13\cdot(362/13)=362$%, и равенство наблюдается в том и только в том случае, когда первый сомножитель равен $%-13$%, а второй равен $%-362/13$%. Этому соответствуют условия $%\cos(x-\alpha)=1$%, $%t=\cos x=5/13$%. Первое условие означает, что $%x=\alpha+2\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%. Второе условие при этом автоматически выполнено.

Ответ: $%x=-\arccos\frac5{13}+2\pi k$% ($%k\in{\mathbb Z}$%).

ссылка

отвечен 11 Май '13 23:30

10|600 символов нужно символов осталось
2

Найдите наибольшее и наименьшее значение второй скобки... и посмотрите когда при умножении на первую скобку получите нужный результат...

Разложите косинус двойного угла... обозначьте $%\cos(x) = t$%... и получите простую задаче для нахождения наибольшего и наименьшего значения квадратичной функции на отрезке $%t \in [-1;1]$%...

ссылка

отвечен 11 Май '13 23:06

изменен 11 Май '13 23:30

@all_exist, а без наибольшего и наименьшего значений можно? Подскажите, пожалуйста, нужно решение без одз.

(11 Май '13 23:18) Uchenitsa

А при чём тут ОДЗ... выражение в правой части определено для любого икс...

(11 Май '13 23:25) all_exist

Извините, не то хотела сказать; нужно решение не через наибольшее и наименьшее значения функции

(11 Май '13 23:38) Uchenitsa
1

@Uchenitsa: такое решение теоретически возможно, но оно приводит к уравнению шестой степени (относительно $%t=\cos x$%) с шестизначными коэффициентами. При разложении на множители получается $%(13t-5)^2$% и какой-то многочлен 4-й степени, про который потом надо доказать, что он не имеет корней, а это основано на подсчёте значений в точках минимума. То есть такое решение будет в разы сложнее. Ясно, что авторы здесь специально подбирали числа. Замените 362 на 360, и получится уже что-то, корни чего находимы и выразимы с трудом.

(12 Май '13 0:06) falcao

@falcao, спасибо за объяснение, я решила вашим способом, все получилось.

(12 Май '13 0:42) Uchenitsa
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%(12sinx-5cosх)(13cos2x-20cosx-11)=362 \Leftrightarrow 13cos(x-\varphi)(26cos^2x-20cosx-24)=362$%

Обозначим $%cosx=t$%, функция $%f(t)=26t^2-20t-24,$% при $%t\in [-1;1],$% принимает значения от промежутки $%[\frac{-362}{13};22]\Rightarrow |f(t)|\le \frac{362}{13}. $% Значит левая частьуравнения не больше 362. Не могу продолжать.Удаляюсь на день.Тем более @falcao уже решил.

ссылка

отвечен 11 Май '13 23:30

изменен 12 Май '13 0:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×745
×741
×414

задан
11 Май '13 22:36

показан
972 раза

обновлен
12 Май '13 1:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru