|
$$(12\sin x-5\cos x)(13\cos2x-20\cos x-11)=362$$ задан 11 Май '13 22:36 
Uchenitsa |
|
Первый сомножитель можно представить в виде $%-13(\sin\alpha\sin x+\cos\alpha\cos x)=-13\cos(x-\alpha)$%, где $%\alpha$% удовлетворяет условиям $%\cos\alpha=5/13$%, $%\sin\alpha=-12/13$%, и в качестве такого значения годится $%\alpha=-\arccos(5/13)$%. Тем самым, первый сомножитель принимает значения от $%-13$% до $%13$%. Второй сомножитель преобразуем в соответствии с формулой косинуса двойного угла. Он равен $%26\cos^2x-20\cos x-24$%. Рассмотрим функцию $%f(t)=26t^2-20t-24$% на отрезке $%[-1,1]$%. Её единственная критическая точка $%t=5/13$% принадлежит этому отрезку, и значение функции в ней равно $%f(5/13)=50/13-100/13-24=-362/13$%. Значения на концах равны $%f(-1)=22$% и $%f(1)=-18$%. Таким образом, множество значений функции, а потому и множество значений второго сомножителя, равно $%[-362/13;22]$%. Заметим, что $%362/13 > 22$%. Из чего ясно, что модуль левой части уравнения не превосходит $%13\cdot(362/13)=362$%, и равенство наблюдается в том и только в том случае, когда первый сомножитель равен $%-13$%, а второй равен $%-362/13$%. Этому соответствуют условия $%\cos(x-\alpha)=1$%, $%t=\cos x=5/13$%. Первое условие означает, что $%x=\alpha+2\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%. Второе условие при этом автоматически выполнено. Ответ: $%x=-\arccos\frac5{13}+2\pi k$% ($%k\in{\mathbb Z}$%). отвечен 11 Май '13 23:30 
falcao |
|
Найдите наибольшее и наименьшее значение второй скобки... и посмотрите когда при умножении на первую скобку получите нужный результат... Разложите косинус двойного угла... обозначьте $%\cos(x) = t$%... и получите простую задаче для нахождения наибольшего и наименьшего значения квадратичной функции на отрезке $%t \in [-1;1]$%... отвечен 11 Май '13 23:06 
all_exist @all_exist, а без наибольшего и наименьшего значений можно? Подскажите, пожалуйста, нужно решение без одз.
(11 Май '13 23:18)
Uchenitsa
А при чём тут ОДЗ... выражение в правой части определено для любого икс...
(11 Май '13 23:25)
all_exist
Извините, не то хотела сказать; нужно решение не через наибольшее и наименьшее значения функции
(11 Май '13 23:38)
Uchenitsa
1
@Uchenitsa: такое решение теоретически возможно, но оно приводит к уравнению шестой степени (относительно $%t=\cos x$%) с шестизначными коэффициентами. При разложении на множители получается $%(13t-5)^2$% и какой-то многочлен 4-й степени, про который потом надо доказать, что он не имеет корней, а это основано на подсчёте значений в точках минимума. То есть такое решение будет в разы сложнее. Ясно, что авторы здесь специально подбирали числа. Замените 362 на 360, и получится уже что-то, корни чего находимы и выразимы с трудом.
(12 Май '13 0:06)
falcao
|
|
$%(12sinx-5cosх)(13cos2x-20cosx-11)=362 \Leftrightarrow 13cos(x-\varphi)(26cos^2x-20cosx-24)=362$% Обозначим $%cosx=t$%, функция $%f(t)=26t^2-20t-24,$% при $%t\in [-1;1],$% принимает значения от промежутки $%[\frac{-362}{13};22]\Rightarrow |f(t)|\le \frac{362}{13}. $% Значит левая частьуравнения не больше 362. Не могу продолжать.Удаляюсь на день.Тем более @falcao уже решил. отвечен 11 Май '13 23:30 
ASailyan |