Найти a и решить в комплексных числах уравнение $$z^3 + 7z^2 + 25z + a=0$$ если сумма кубов его корней равна 65

задан 11 Май '13 23:19

изменен 12 Май '13 0:00

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть $%z_1,z_2,z_3$% -- комплексные корни уравнения. По теореме Виета имеем следующие равенства: $%z_1+z_2+z_3=-7$%, $%z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3=25$%, $%z_1z_2z_3=-a$%.

Сумма кубов корней выражается через указанные выше величины в силу тождества $$z_1^3+z_2^3+z_3^3=(z_1+z_2+z_3)^3-3(z_1+z_2+z_3)(z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3)+3z_1z_2z_3,$$ которое проверяется непосредственным раскрытием скобок. Из этого мы получаем уравнение $$65=(-7)^3-3(-7)\cdot25-3a,$$ откуда $%a=39$%. Это условие является необходимым и достаточным.

Левая часть уравнения при этом разлагается на множители: $$z^3+7z^2+25z+39=(z+3)(z^2+4z+13).$$ Комплексные корни равны $%-3$%; $%-2\pm3i$%. При желании, можно проверить непосредственно, что их сумма кубов будет равна $%65$%.

ссылка

отвечен 11 Май '13 23:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×787
×381

задан
11 Май '13 23:19

показан
816 раз

обновлен
11 Май '13 23:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru