уравнения - Найти a и решить уравнение в комплексных числах

Пусть $%z_1,z_2,z_3$% -- комплексные корни уравнения. По теореме Виета имеем следующие равенства: $%z_1+z_2+z_3=-7$%, $%z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3=25$%, $%z_1z_2z_3=-a$%.

Сумма кубов корней выражается через указанные выше величины в силу тождества $$z_1^3+z_2^3+z_3^3=(z_1+z_2+z_3)^3-3(z_1+z_2+z_3)(z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3)+3z_1z_2z_3,$$ которое проверяется непосредственным раскрытием скобок. Из этого мы получаем уравнение $$65=(-7)^3-3(-7)\cdot25-3a,$$ откуда $%a=39$%. Это условие является необходимым и достаточным.

Левая часть уравнения при этом разлагается на множители: $$z^3+7z^2+25z+39=(z+3)(z^2+4z+13).$$ Комплексные корни равны $%-3$%; $%-2\pm3i$%. При желании, можно проверить непосредственно, что их сумма кубов будет равна $%65$%.