математический-анализ - Найти максимальное целое, при котором сходится интеграл

Надо исследовать отдельно поведение интеграла вблизи бесконечности и вблизи нуля. Начнём с первого.

1) Рассмотрим интеграл от 1 до бесконечности и сделаем замену $%y=x^{2/3}$%. При этом $%dx=d(y^{3/2})=(3/2)y^{1/2}dy$%, а в знаменателе мы имеем $%x^{\alpha/3-1}=y^{\alpha/2-3/2}$%. С точностью до множителя-константы, получается такой интеграл: $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin(y+y^{-7/2})}{y^{\alpha/2-2}}\,dy.$$

Утверждается, что этот интеграл сходится, если показатель степени при $%y$% в знаменателе положителен. Действительно, если бы в числителе был просто синус, то сходимость следовала бы из признака Дирихле: синус имеет ограниченную на всей прямой первообразную, а функция $%1/y^{\beta}$% монотонно стремится к нулю при $%y\to\infty$%, если $%\beta > 0$%.

Представим теперь числитель как сумму двух слагаемых: $%\sin y$% и $%\sin(y+y^{-7/2})-\sin y$%. Интеграл, соответствующий первому слагаемому, как было показано выше, сходится. Разность синусов представим в виде удвоенного косинуса полусуммы на синус полуразности, то есть на $%\sin(y^{-7/2}/2)$%. Ясно, что косинус ограничен, а синус "малого" аргумента не превосходит $%y^{-7/2}/2$%, что приводит к заведомо сходящемуся интегралу. Следовательно, интеграл для второго слагаемого (разности синусов) сходится абсолютно.

Далее, легко понять, что если показатель степени $%\beta=\alpha/2-2$% равен нулю или отрицателен, то интеграл расходится. Это можно доказать, ссылаясь на критерий Коши. Действительно, если бы интеграл сходился, то для любого $%\varepsilon > 0$% нашлось бы такое $%M$%, что интеграл от функции по отрезку $%[a,b]$% такому что $%M < a < b$%, был бы меньше $%\varepsilon$%. В нашем случае это заведомо не так, поскольку существуют сколь угодно большие $%y$%, близкие к $%\pi/2+2\pi k$%, в окрестности которых синус близок к $%1$%, а длина промежутка, в котором синус больше, скажем, $%1/2$%, достаточно велика (больше гарантированной константы). Это очевидно для "чистого" синуса, а "добавка" $%y^{-7/2}$% стремится к нулю, и на эффект не влияет. Это рассуждение верно для $%\beta=0$% и тем более верно для отрицательных $%\beta$%.

Таким образом, мы приходим к условию $%\beta=\alpha/2-2 > 0$%, то есть $%\alpha > 4$%, которое необходимо и достаточно для сходимости несобственного интеграла на бесконечности.

2) Теперь исследуем поведение интеграла от 0 до 1, сделав замену $%z=x^{-7/3}$%. Здесь $%x=z^{-3/7}$%, $%dx=(-3/7)z^{-10/7}dz$%, знаменатель равен $%x^{\alpha/3-1}=z^{-\alpha/7+3/7}$%, и с учётом числителя мы приходим к интегралу $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin(z+z^{-2/7})}{z^{-\alpha/7+13/7}}\,dz$$ (постоянный множитель перед интегралом мы отбросили). Здесь можно рассуждать аналогично тому, как это делалось в предыдущей части, и прийти к выводу, что показатель степени при $%z$% в знаменателе положителен, то есть $%\alpha < 13$%. Однако здесь имеется отличие, состоящее в том, что раньше у нас в знаменателе оказывалось выражение $%y^{7/2}$%, что приводило к абсолютно сходящемуся интегралу. Сейчас же вместо этого появляется выражение $%z^{2/7}$%, переходящее в знаменатель, а этого для абсолютной сходимости уже не хватает. Поэтому здесь мы приведём другое обоснование.

Запишем синус суммы как $%\sin z\cos z^{-2/7}+\cos z\sin z^{-2/7}$%. Первообразные от синуса и косинуса ограничены на всей прямой, и для применения признака Дирихле достаточно убедиться в том, что синус и косинус домножаются на монотонно убывающие функции. Это очевидно для $%\sin z^{-2/7}$%, который монотонно стремится к нулю. А для функции $%\cos z^{-2/7}$% самой по себе это неверно, но у нас в знаменателе есть ещё $%z$% в положительной степени. Поэтому достаточно проверить, что отношение $%\cos z^{-2/7}/z^{\delta}$% будет монотонно убывать при $%z\to+\infty$% начиная с некоторого $%z_0$%. Здесь можно сделать замену переменной вида $%u=z^{-2/7}$%, и тогда останется проверить, что функция вида $%u^{\lambda}\cos u$% монотонно возрастает в окрестности нуля при любом положительном $%\lambda$%. Но это вытекает из того факта, что производная в нуле у такой функции положительна (или даже равна плюс бесконечности).

Таким образом, критерием сходимости несобственного интеграла из условия будет $%4 < \alpha < 13$%. Максимальным целым значением будет $%\alpha=12$%.

Скорее всего, написанное здесь можно как-то упростить, но я сейчас не имею возможности проводить подобную "оптимизацию". Надеюсь, что не напутал ничего при подсчётах -- желательно всё внимательно проверить.