В задаче нужно найти максимальное целое $%\alpha$%, при котором сходится интеграл

$$\int_{0}^{+\infty}\cfrac{\sin(x^{2/3} + x^{-7/3})}{x^{\alpha/3 - 1}} dx$$

У меня возникла идея, что можно применить интегральный принцип сходимости ряда, только наоборот. Т.е. интеграл будет сходится, когда будет сходится функциональный ряд

$$\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{\sin(n^{2/3} + n^{-7/3})}{n^{x/3 - 1}}$$

Соответсвено можно будет найти область сходимости этого ряда, и выбрать из этой области максимальное целое число.

Верно?

Только вот у меня никак не получается определить область сходимости этого ряда, пределы никак не берутся (хотя, похоже, дробь отдалённо напоминает первый замечательный предел).

задан 12 Май '13 0:41

Интегральный признак применим только к рядам со знакопостоянными членами, а функция $%\sin(x^{\frac{2}{3}} + x^{-\frac{7}{3}})$% не является знакопостоянной. Во-вторых, интеграл является суммой двух несобственных интегралов (первого и второго рода), поэтому надо исследовать сходимость каждого из них отдельно.

(12 Май '13 0:55) Mather

Такое ощущение, что эту задачу я уже видела. Может, в другом форуме?

(12 Май '13 23:30) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Надо исследовать отдельно поведение интеграла вблизи бесконечности и вблизи нуля. Начнём с первого.

1) Рассмотрим интеграл от 1 до бесконечности и сделаем замену $%y=x^{2/3}$%. При этом $%dx=d(y^{3/2})=(3/2)y^{1/2}dy$%, а в знаменателе мы имеем $%x^{\alpha/3-1}=y^{\alpha/2-3/2}$%. С точностью до множителя-константы, получается такой интеграл: $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin(y+y^{-7/2})}{y^{\alpha/2-2}}\,dy.$$

Утверждается, что этот интеграл сходится, если показатель степени при $%y$% в знаменателе положителен. Действительно, если бы в числителе был просто синус, то сходимость следовала бы из признака Дирихле: синус имеет ограниченную на всей прямой первообразную, а функция $%1/y^{\beta}$% монотонно стремится к нулю при $%y\to\infty$%, если $%\beta > 0$%.

Представим теперь числитель как сумму двух слагаемых: $%\sin y$% и $%\sin(y+y^{-7/2})-\sin y$%. Интеграл, соответствующий первому слагаемому, как было показано выше, сходится. Разность синусов представим в виде удвоенного косинуса полусуммы на синус полуразности, то есть на $%\sin(y^{-7/2}/2)$%. Ясно, что косинус ограничен, а синус "малого" аргумента не превосходит $%y^{-7/2}/2$%, что приводит к заведомо сходящемуся интегралу. Следовательно, интеграл для второго слагаемого (разности синусов) сходится абсолютно.

Далее, легко понять, что если показатель степени $%\beta=\alpha/2-2$% равен нулю или отрицателен, то интеграл расходится. Это можно доказать, ссылаясь на критерий Коши. Действительно, если бы интеграл сходился, то для любого $%\varepsilon > 0$% нашлось бы такое $%M$%, что интеграл от функции по отрезку $%[a,b]$% такому что $%M < a < b$%, был бы меньше $%\varepsilon$%. В нашем случае это заведомо не так, поскольку существуют сколь угодно большие $%y$%, близкие к $%\pi/2+2\pi k$%, в окрестности которых синус близок к $%1$%, а длина промежутка, в котором синус больше, скажем, $%1/2$%, достаточно велика (больше гарантированной константы). Это очевидно для "чистого" синуса, а "добавка" $%y^{-7/2}$% стремится к нулю, и на эффект не влияет. Это рассуждение верно для $%\beta=0$% и тем более верно для отрицательных $%\beta$%.

Таким образом, мы приходим к условию $%\beta=\alpha/2-2 > 0$%, то есть $%\alpha > 4$%, которое необходимо и достаточно для сходимости несобственного интеграла на бесконечности.

2) Теперь исследуем поведение интеграла от 0 до 1, сделав замену $%z=x^{-7/3}$%. Здесь $%x=z^{-3/7}$%, $%dx=(-3/7)z^{-10/7}dz$%, знаменатель равен $%x^{\alpha/3-1}=z^{-\alpha/7+3/7}$%, и с учётом числителя мы приходим к интегралу $$\int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin(z+z^{-2/7})}{z^{-\alpha/7+13/7}}\,dz$$ (постоянный множитель перед интегралом мы отбросили). Здесь можно рассуждать аналогично тому, как это делалось в предыдущей части, и прийти к выводу, что показатель степени при $%z$% в знаменателе положителен, то есть $%\alpha < 13$%. Однако здесь имеется отличие, состоящее в том, что раньше у нас в знаменателе оказывалось выражение $%y^{7/2}$%, что приводило к абсолютно сходящемуся интегралу. Сейчас же вместо этого появляется выражение $%z^{2/7}$%, переходящее в знаменатель, а этого для абсолютной сходимости уже не хватает. Поэтому здесь мы приведём другое обоснование.

Запишем синус суммы как $%\sin z\cos z^{-2/7}+\cos z\sin z^{-2/7}$%. Первообразные от синуса и косинуса ограничены на всей прямой, и для применения признака Дирихле достаточно убедиться в том, что синус и косинус домножаются на монотонно убывающие функции. Это очевидно для $%\sin z^{-2/7}$%, который монотонно стремится к нулю. А для функции $%\cos z^{-2/7}$% самой по себе это неверно, но у нас в знаменателе есть ещё $%z$% в положительной степени. Поэтому достаточно проверить, что отношение $%\cos z^{-2/7}/z^{\delta}$% будет монотонно убывать при $%z\to+\infty$% начиная с некоторого $%z_0$%. Здесь можно сделать замену переменной вида $%u=z^{-2/7}$%, и тогда останется проверить, что функция вида $%u^{\lambda}\cos u$% монотонно возрастает в окрестности нуля при любом положительном $%\lambda$%. Но это вытекает из того факта, что производная в нуле у такой функции положительна (или даже равна плюс бесконечности).

Таким образом, критерием сходимости несобственного интеграла из условия будет $%4 < \alpha < 13$%. Максимальным целым значением будет $%\alpha=12$%.

Скорее всего, написанное здесь можно как-то упростить, но я сейчас не имею возможности проводить подобную "оптимизацию". Надеюсь, что не напутал ничего при подсчётах -- желательно всё внимательно проверить.

ссылка

отвечен 12 Май '13 5:06

Спасибо! Осталось проработать весь пример самому и понять непонятные места. Может быть, Вы можете порекомендовать задачник, в котором разбираются подобные задания и даётся необходимый теоретический минимум?

(12 Май '13 11:28) Alexey Grigorev

@Alexey Grigorev: пожалуйста, задавайте вопросы, если что будет непонятно! Я старался писать как можно более подробно. Можно начать с пункта 2, а в пункте 1 применить тот же приём. В принципе, это упражнение на технику, и на признак Дирихле, который весьма "чувствителен" к разного рода "малым возмущениям", то есть просто пренебречь "малым" слагаемым здесь нельзя. В литературе я встречал разве что базовые вещи -- типа интеграла от $%\sin x/x^a$%. Теоретический минимум тут простой: школьная тригонометрия, признак Дирихле для несобственных интегралов, критерий Коши.

(12 Май '13 12:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,849
×923
×523
×338
×192

задан
12 Май '13 0:41

показан
1018 раз

обновлен
12 Май '13 23:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru