|
Пусть $%h_1, h_2, h_3$% и $%h_4$%-высоты тетраэдра, $%d_1, d_2$% и $%d_3$%-расстояния между его противоположными ребрами. Докажите, что $%\frac{1}{h_1^{2}}+\frac{1}{h_2^{2}}+\frac{1}{h_3^{2}}+\frac{1}{h_4^{2}}=\frac{1}{d_1^{2}}+\frac{1}{d_2^{2}}+\frac{1}{d_3^{2}} $% задан 12 Фев '12 12:47 
dmg3 |
|
Достроим тетраэдр до параллелепипеда, грани которой проходят через ребра тетраэдра и параллелни противоположным ребрам (ребра тетраэдра являются диагоналями граней параллелепипеда).Обозначим площади граней параллелепипеда через $%S_1;S_2;S_3;S_4$%,а площади граней параллелепипеда $%Q_1;Q_2;Q_3.$%Пусть $%\alpha;\gamma;\delta$% двугранные угли при ребрах грани с площадью $%S_1$%. Тогда очевидно ,что $%S_1=S_2cos\alpha+S_3cos\gamma+S_4cos\delta$% и согласно задачи 1726 $$ S_1^2+S_2^2-2S_1S_2cos\alpha=Q_1^2$$$$ S_1^2+S_3^2-2S_1S_3cos\gamma=Q_2^2$$ $$ S_1^2+S_4^2-2S_1S_4cos\delta=Q_3^2$$.Сложив эти равенства получим $%Q_1^2+Q_2^2+Q_3^2= S_2^2+S_3^2+S_4^2+3S_1^2-2S_1(S_2cos\alpha+S_3cos\gamma+S_4cos\delta)=$% $%=S_2^2+S_3^2+S_4^2+3S_1^2-2S_1^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2$%. И так $$S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2=Q_1^2+Q_2^2+Q_3^2$$. Вспомним формулы обьема тетраэдра $% V=\frac{1}{3}S_1h_1=\frac{1}{3}Q_1d_1$%,и разделив обе части последного равенства на $%9V^2$% получим требуемое равенство. отвечен 11 Июн '12 2:48 
ASailyan |