(2x+3)y''+(8x+10)y'+(6x+3)y = e^(-x)(2x+3)^2/(x+1), x>-1

задан 27 Фев 20:32

Первое частное решение получилось у=e^(-3x), второе вроде находил (уже раза три) по правилам, получилось у=(2x+3)*e^(-x). Проверка второго не получается

(28 Фев 0:15) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
3

Будем искать частное решение однородного уравнения в виде экспоненты $%e^{ax}$%... подставляя в уравнение получим $$ (2x+3)a^2+(8x+10)a+(6x+3)=0 $$ что равносильно системе $$ \begin{cases} 4a^2+8a+6=0 \\ 3a^2+10a+3=0 \end{cases} $$ Оба уравнения имеют одинаковый корень $%a=-3$%... то есть нашли одно частное решение однородного уравнения... Делаем замену $%y=z\cdot e^{-3x}$%, где $%z(x)$% - новая искомая функция... $$ (2x+3)(z''-6z'+9z)+(8x+10)(z'-3z)+(6x+3)z=0 $$ $$ (2x+3)z''-(4x+8)z'=0 $$ Уравнение допускает понижение порядка... или можно просто разделить переменные... $$ \frac{z''}{z'}=\frac{4x+8}{2x+3} = 2+\frac{2}{2x+3}, $$ откуда $$ z'=C_1(2x+3)\cdot e^{2x} \quad\Rightarrow\quad z=C_1(x+1)e^{2x}+C_2 $$ Возвращаясь к исходной функции получим вид общего решения однородного уравнения...

Дальше метод вариации произвольной постоянной...

ссылка

отвечен 28 Фев 0:14

@all_exist, сразу нашёл свою ошибку, (2x+3)e^2x получил тоже и умножил на е^-3*x, что не так

(28 Фев 0:26) epimkin

@epimkin, надо сначала проинтегрировать... а потом уже умножать на $%e^{-3x}$%...

(28 Фев 0:38) all_exist

@all_exist, уже увидел. У меня замена была у(2)=у(1)инт(Udx). Так вот u я нашёл, как у Вас получилось а какую замену делал не обратил внимания

(28 Фев 0:43) epimkin

@all_exist, а что такое х>-1?

(28 Фев 1:10) epimkin

@epimkin, для приведённого линейного уравнения область определения коэффициентов и правой части определяют области единственности решения... Видимо это условие на область надо будет использовать для преобразования/нахождения частного решения...

(28 Фев 5:25) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×38

задан
27 Фев 20:32

показан
91 раз

обновлен
28 Фев 5:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru