Показать, что ряд суммируется методом Чезаро, найдя обобщённую в смысле Чезаро сумму ряда и sn = {S0+S1+...+Sn}/(n+1), где Sk - сумма первых k членов ряда (индексируется с 0). Ряд:
1/2+(сумма по n от 1 до inf)cos(na), где 0<|a|<pi

задан 8 Мар 20:26

изменен 10 Мар 9:47

Вообще-то сумма по Чезаро это $%S=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{s_1+s_2+...+s_n}{n}$%, а не то, что у Вас написано. И непонятно, где именно стоит 1/2. Если под знаком суммы, то по Чезаро она не суммируется.

(8 Мар 21:24) caterpillar

@caterpillar, извиняюсь, сейчас поправлено

(10 Мар 9:47) Ghosttown
10|600 символов нужно символов осталось
3

Получается, мы считаем $%\frac{1}{2}$% нулевым слагаемым ряда. Далее я пока писать её не буду. При суммировании по Чезаро она будет складываться сама с собой сколько надо раз.

Рассмотрим $%S_n=\sum\limits_{k=1}^n\cos ka=\frac{1}{\sin\frac{a}{2}}\sum\limits_{k=1}^n\cos ka\sin\frac{a}{2}=\frac{1}{2\sin\frac{a}{2}}\sum\limits_{k=1}^n\left(\sin a\left(k+\frac{1}{2}\right)-\sin a\left(k-\frac{1}{2}\right)\right)$%. Расписываем сумму, почти всё сокращаем, остаётся $%S_n=\frac{\sin a\left(n+\frac{1}{2}\right)-\sin \frac{a}{2}}{2\sin\frac{a}{2}}$%. Дальше суммируем по Чезаро: $%\frac{\frac{1}{2}\cdot(n+1)+\frac{1}{2\sin\frac{a}{2}}\left(\sum\limits_{k=1}^n\sin a\left(k+\frac{1}{2}\right)-n\sin \frac{a}{2}\right)}{n+1}$%. Чтобы свернуть сумму в скобках, представим $%\sin a\left(k+\frac{1}{2}\right)=\sin ak\cos\frac{a}{2}+\cos ak\sin\frac{a}{2}$% и с двумя этими суммами поступаем ровно так, как описано выше. Получится предел бесконечно малой, умноженной на ограниченную.

ссылка

отвечен 10 Мар 10:18

изменен 10 Мар 10:29

@caterpillar, спасибо большое!

(11 Мар 19:53) Ghosttown
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×65
×1

задан
8 Мар 20:26

показан
94 раза

обновлен
11 Мар 19:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru