стереометрия - Теорема Бретшнейдера

Пусть $%AB=a, DC=b,DH\perp(ABC),BC=x,AC=y,AD=t,BD=z,DH=h_1$% двугранные угли при ребер $% BC,AC,BD,AD $% соответственно $%\gamma,\delta,\varphi,\psi$%. И eще обознчим $%S_{ABC}=S_1,S_{ABD}=S_2,S_{DBC}=S_3,S_{ADC}=S_4. $%. Вспомним формули обьема тетраэдра $% V=\frac{1}{3}S_1h_1=\frac{2S_1S_2sin\alpha}{3a}$%(второй легко получается из первой простими преобразованиями).Ясно ,что $%S_1=S_{ABC}=S_{AHB}+S_{BHC}+S_{AHC}=S_2cos\alpha+S_3cos\gamma+S_4cos\delta=$% $%=\frac{1}{2}\frac{ah_1cos\alpha}{sin\alpha}+\frac{1}{2}\frac{xh_1cos\gamma}{sin\gamma}+\frac{1}{2}\frac{yh_1cos\delta}{sin\delta}$%.Учитывая ,что $%h_1=\frac{3V}{S_1}$%.Последнее напишем в виде $%(а) actg\alpha+xctg\gamma+yctg\delta=\frac{2s_1^2}{3V}$% , по аналогии для остальных граней получим

$%(б) actg\alpha+zctg\varphi+tctg\psi=\frac{2s_2^2}{3V}$%

$%(в) bctg\beta+xctg\gamma+zctg\varphi=\frac{2s_3^2}{3V}$%

$%(г) bctg\beta+tctg\psi+yctg\delta=\frac{2s_3^2}{3V}$% Вычитая сумма (в)+(г) из суммы (a)+(b), получим $% actg\alpha-bctg\beta=\frac{s_1^2+s_2^2-s_3^2-s_4^2}{3V}\Rightarrow (actg\alpha-bctg\beta)^2=(\frac{s_1^2+s_2^2-s_3^2-s_4^2}{3V})^2\Rightarrow $%

$%\Rightarrow a^2ctg^2\alpha+b^2ctg^2\beta-2abctg\alpha ctg\beta=(\frac{s_1^2+s_2^2-s_3^2-s_4^2}{3V})^2\Rightarrow$%

$% a^2(\frac{1}{sin^2\alpha}-1)+b^2(\frac{1}{sin^2\beta}-1)-2abctg\alpha ctg\beta=(\frac{s_1^2+s_2^2-s_3^2-s_4^2}{3V})^2 \Rightarrow$%

$%a^2+b^2+2abctg\alpha ctg\beta=\frac{a^2}{sin^2\alpha}+\frac{b^2}{sin^2\beta}-(\frac{s_1^2+s_2^2-s_3^2-s_4^2}{3V})^2 $%. Из вышеприведенной формулы обьема получим $% \frac{a^2}{sin^2\alpha}=\frac{4S_1^2S_2^2}{9V^2}$%. И так $%a^2+b^2+2abctg\alpha ctg\beta=\frac{4S_1^2S_2^2}{9V^2}+\frac{4S_3^2S_4^2}{9V^2}-(\frac{s_1^2+s_2^2-s_3^2-s_4^2}{3V})^2=const $%