В общем, у меня возник вопрос, на который я ищу ответ целый день. Учусь в обычной школе, поэтому некоторые моменты сложно вычерпать. Вопрос таков: допустим, нам надо доказать, что корень из 17 это иррациональное число. Я уже понял, как это доказывается, но один момент никак не дается. В доказательстве говорится, что если m^2 (где m - натуральное число) делится на 17, то и m делится на 17 (так как 17 - простое число).

Так вот, объясните пожалуйста, почему из-за того, что 17 - простое число и m^2 делится на 17 следует, что и m делится на 17? Если можно, поподробнее или укажите ссылку на соответствующую теорию об этом, заранее спасибо)

задан 9 Мар '19 15:50

1

Это следует из основной теоремы арифметики.

Если число $%m^2$% делится на $%17$%, то среди простых чисел в его представлении имеется некоторая степень простого числа $%17$%. Более того, эта степень должна быть четной, потому что как известно, при последовательном возведении в степень показатели умножаются - $% (a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$%, в частности - $% (a^{b})^{2} = a^{2 \cdot b}$%.

Тогда если в представление $%m^{2}$% число $%17$% входит в степени $%2k$%, то в представление числа $%m$% оно входит в степени $%k$%, следовательно, число $%m$% делится на 17.

(9 Мар '19 16:41) elman
1

@thickinch: обычно факт о том, что из делимости произведения целых чисел на простое p, следует делимость хотя бы одного из сомножителей, считается известным. Это, конечно, следует из основной теоремы арифметики, но она сама часто доказывается при помощи этой леммы. Она сама является следствием утверждения о том, что для взаимно простых целых чисел a, b, существуют целые u, v, для которых au+bv=1. Всё это есть в учебниках по теории чисел.

Если хотите, я могу изложить доказательство леммы (про ab делящееся на p) без использования "спецсредств", но оно тоже не совсем очевидное.

(9 Мар '19 16:55) falcao

@elman, большое спасибо за ответ, помогло с учителем немного поссориться -) @falcao, осиливал оставленную вами лемму огромное количество времени (крошечный мозг), и теперь все понял вплоть до мелких деталей. Огромное спасибо, выручаете не в первый раз)

(10 Мар '19 23:26) thickinch
10|600 символов нужно символов осталось
2

Попробую изложить элементарное доказательство следующей леммы, не опираясь ни на основную теорему арифметики, и алгоритм Евклида с его следствиями.

Лемма. Пусть $%a$%, $%b$% -- целые числа, для которых произведение $%ab$% делится на простое число $%p$%. Тогда $%a$% делится на $%p$% или $%b$% делится на $%p$%.

При $%a=b$% получаем как следствие, что если $%a^2$% делится на простое $%p$%, то $%a$% также делится.

Доказательство. Рассуждая от противного, предположим, что для некоторого простого $%p$% доказываемое утверждение неверно. Тогда существуют целые $%a$%, $%b$%, для которых $%ab$% делится на $%p$%, но ни $%a$%, ни $%b$% не делится. Среди всех простых $%p$% с таким свойством выберем наименьшее. (Здесь использована одна из аксиом арифметики -- принцип наименьшего числа. Она равносильна обычному принципу математической индукции.)

По условию, $%a\ne0$% и $%b\ne0$%. Меняя при необходимости знаки чисел, можно считать, что $%a > 0$% и $%b > 0$%, то есть речь о произведении натуральных чисел. Снова применим принцип наименьшего числа, выбирая сначала наименьшее натуральное $%a$%, при котором возможен контрпример, а при фиксированном $%a$% -- наименьшее натуральное $%b$%. Легко видеть, что $%a < p$% и $%b < p$%: в противном случае можно было бы заменить $%a$% на $%a-p$% или $%b$% на $%b-p$%, уменьшая значения сомножителей при наличии контрпримера.

Итак, у нас выполнено неравенство $%ab < p^2$% и равенство $%ab=pk$% для некоторого натурального $%k < p$%. Допустим, что $%k=1$%. Тогда $%ab=p$%, что противоречит определению простого числа, которое невозможно разложить на меньшие натуральные множители. Следовательно, $%k > 1$%, и тогда $%k$% делится на некоторое простое $%q$%, для которого $%q\le k < p$%. Положим $%k=qm$%.

Ввиду того, что $%ab=pk$% делится на простое $%q < p$%, а также условия выбора $%p$%, дающего минимальный контрпример, получаем, что $%a$% делится на $%q$% или $%b$% делится на $%q$%. Допустим первое. Тогда $%a=qa'$% для некоторого натурального $%a'$%, и мы имеем равенство $%ab=qa'b=pk=qpm$%, откуда $%a'b=pm$% делится на $%p$%. Из того, что $%a' < a$% и минимальности контрпримера при выборе $%a$%, следует, что $%a'$% делится на $%p$% (и тогда $%a$% тем более делится) или $%b$% делится на $%p$%, что противоречит предположению о том, что ни одно из чисел $%a$%, $%b$% не делится на $%p$%.

Аналогично поступаем, если оказалось, что $%b$% делится на $%q$%: полагаем $%b=qb'$% и далее сокращаем на $%q$%. Это даёт окончательное противоречие.

Предупреждаю, что это доказательство -- "на любителя". У него есть и достоинства, и недостатки. Если такое рассуждение тяжело воспринимается, то можно взять учебник по теории чисел и прочитать другое, более стандартное рассуждение.

ссылка

отвечен 9 Мар '19 21:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,869
×236
×60
×30

задан
9 Мар '19 15:50

показан
341 раз

обновлен
10 Мар '19 23:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru