1. Доказать, что $%(\bar x,\bar y)\subset \mathbb F_2[x,y]/(x,y)^2$% есть объединение трех собственных более мелких идеалов.
  2. Пусть $%k$% - поле. Рассмотрим идеалы $%I'=(\bar x),I''=(\bar y), J=(\bar x^2,\bar y)$% в кольце $%k[x,y]/(xy,y^2)$%. Доказать, что однородные элементы $%J$% лежат в $%I'\cup I''$%, но $%J\not\subset I',J\not\subset I''$% и что один из $%I',I''$% простой.

задан 10 Мар 1:30

В частности, в пункте 2 непонятно, что имеется в виду под однородными элементами $%J$%. Наверное, $%J$% рассматривают как градуированный модуль над некоторым градуированным кольцом? Какая тогда градуировка в кольце и в модуле?

(10 Мар 1:32) Slater

@Slater: в первом случае идеал (X,Y) состоит из 4 элементов: 0, X, Y, X+Y. (Я заменил bar{x} на X и т.п.) Он является объединением {0,X}, {0,Y} и {0,X+Y}. Это идеалы кольца.

Смысл этого упражнения мне не очень понятен: осознать условие -- то же самое, что решить задачу. Я считаю, что всегда должны быть "интрига", а тут она отсутствует.

Выражение про однородные элементы мне не очень понятно в плане того, что X+Y однороден, но не принадлежит объединению идеалов (разве что их сумме). То, что идеал (Y) прост, достаточно очевидно.

Это самостоятельные как бы задачи, или прояснение чего-то?

(10 Мар 2:24) falcao
1

Это самостоятельные задачи, дающие примеры того, что лемма об избегании простых идеалов (http://funkyimg.com/i/2SbYY.png) не может быть улучшена.

(10 Мар 2:31) Slater

@Slater: на этом фоне упражнения смотрятся более чем уместно (появляется смысл в виде "невозможно улучшить", и простота приводимых примеров ничего не портит).

(10 Мар 2:46) falcao

@falcao: "X+Y однороден, но не принадлежит объединению идеалов" а в чем противоречие? X+Y также не принадлежит и J.

И как всё-таки понимать "однородные элементы"?

(13 Мар 0:37) Slater

@Slater: да, этот элемент не принадлежит J, то есть противоречия нет.

Я понимаю однородные элементы как элементы факторкольца, задаваемые однородными многочленами. Вряд ли имелось в виду что-то другое.

(13 Мар 1:11) falcao

Тогда однородный элемент X^2+Y^2 лежит в J, но не видно, чтобы он лежал в I' или I''

(13 Мар 1:15) Slater

@Slater: он лежит в (X), так как Y^2=0 в кольце (там факторизация по xy=y^2=0).

(13 Мар 1:19) falcao

Точно. А как тогда для общего случая доказать?

Как насчет такого доказательства?

Ой, оно неверное, я забыл что $%\alpha, \beta$% - элементы факторкольца...

<s>Любой элемент идеала $%(X^2,Y)$% имеет вид $%\alpha X^{2n}+\beta Y^m$%. Если этот элемент - однородный, то $%2n=m$%, т.е. $%m$% четно. Значит, $%X^m=0$% в рассматриваемом факторкольце. Тогда $%(X^2,Y)$% всегда лежит в $%I'$%.</s>

(13 Мар 1:23) Slater
1

@Slater: тут несложная прямая проверка. Однородный многочлен -- линейная комбинация мономов, каждый из которых содержит x^2 или y. Если степень d=1, то это y с коэффициентом -- из I''. Если d>=2, то моном, содержащий y, содержит ещё букву x или y. Ввиду xy=y^2=0, он равен нулю. Остаётся элемент из I'.

(13 Мар 3:43) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,045

задан
10 Мар 1:30

показан
35 раз

обновлен
13 Мар 3:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru