комбинаторика - Можно ли устроить такой турнир...?

Да, можно. Обоснование такое: рассадим десятерых за круглым столом, и предпишем каждому сыграть со своим соседом слева и справа; с теми, кто сидит через одного (также слева и справа), а также с тем, кто сидит строго напротив.

Схематично это можно представить себе в виде десятиугольника $%A_1A_2\ldots A_{10}$%. В нём проведены все стороны, все "длинные" диагонали, а также вписаны два пятиугольника, у которых стороны идут через одну вершину. Тогда каждая вершина имеет ровно 5 соединений. Это соответствует расписанию турнира. Скажем, $%A_1$% должен будет сыграть с $%A_2$%, $%A_{10}$%, $%A_3$%, $%A_9$% и $%A_6$%.

Добавление. Есть ещё более простое соображение, которое мне пришло в голову чуть позже. Разобьём команды на две подгруппы по 5 команд в каждой. В турнире каждая команда первой подгруппы должна сыграть с каждой командой второй подгруппы. При этом каждая команда сыграет ровно 5 игр.