сходимость-ряда - Решить ряд признаком Даламбера

$%\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\mathrm{tg}\frac{\pi}{2^{n+1}}$%

Проверяем необходимое условие сходимости ряда: $%\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n \to \infty}n\frac{\pi}{2^{n+1}}=0$%.

Признак Даламбера: $%\frac{n+1}{n}\frac{\mathrm{tg}~\frac{\pi}{2^{n+2}}}{\mathrm{tg}~\frac{\pi}{2^{n+1}}}$%

Левая дробь в пределе даст 1. Обозначим $%t=\frac{\pi}{2^{n+2}}$%, тогда правая дробь запишется в виде $%\frac{\mathrm{tg}~t}{\mathrm{tg}~2t}\to\frac{1}{2}$% при $%t\to0$%.