|
Около окружности описана трапеция АВСD, боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям, М - точка пересечения диагоналей трапеции. Площадь треугольника СМD равна S. Найдите радиус окружности. задан 13 Май '13 17:04 
Ирина Иващенко |
|
Поскольку треугольники BAC и BDC равновелики, а треугольник BMC- их общая часть, то площадь треугольника AMB также равна S. Пусть O -центр окружности; R - ее радиус; P, F и Q -точки касания со сторонами BC, CD и AD соответственно; K -проекция точки M на сторону AB. Тогда $$ CF = CP = BC - BP = BC - R,~ DF = DQ = AD - AQ = AD - R. $$ В прямоугольном треугольнике COD: $$ R^{2} = OF^{2} = CF\cdot DF = (BC - R)(AD - R). $$ Отсюда находим, что $$ R = AD\cdot \frac{BC}{AD + BC}. $$ С другой стороны, из подобия треугольников AKM и ABC следует, что $$ KM = BC\cdot \frac{AM}{AC}, $$ а из подобия треугольников AMD и CMB $$ \frac{AM}{AC} = \frac{AD}{AD + BC}. $$ Поэтому $$ KM = BC\cdot\frac{AD}{AD + BC} = R. $$ Поскольку AB = 2R, то $$ S = S(AMB) = \frac{1}{2}AB\cdot KM = \frac{1}{2}\cdot 2R\cdot R = R^{2}. $$ Следовательно, $$R = \sqrt{S}$$. отвечен 13 Май '13 17:31 
IvanLife Спасибо за решение. Почти разобралась. Один момент не ясен: как получилось отношение из подобия треугольников АМД и ВМС
(13 Май '13 18:45)
Ирина Иващенко
@Ирина Иващенко, я сейчвс добавлю рисунок, и все понятней станет.
(14 Май '13 14:11)
IvanLife
|
