Около окружности описана трапеция АВСD, боковая сторона АВ перпендикулярна основаниям, М - точка пересечения диагоналей трапеции. Площадь треугольника СМD равна S. Найдите радиус окружности.

задан 13 Май '13 17:04

изменен 13 Май '13 18:39

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

alt text

Поскольку треугольники BAC и BDC равновелики, а треугольник BMC- их общая часть, то площадь треугольника AMB также равна S.

Пусть O -центр окружности; R - ее радиус; P, F и Q -точки касания со сторонами BC, CD и AD соответственно; K -проекция точки M на сторону AB. Тогда $$ CF = CP = BC - BP = BC - R,~ DF = DQ = AD - AQ = AD - R. $$ В прямоугольном треугольнике COD: $$ R^{2} = OF^{2} = CF\cdot DF = (BC - R)(AD - R). $$ Отсюда находим, что $$ R = AD\cdot \frac{BC}{AD + BC}. $$ С другой стороны, из подобия треугольников AKM и ABC следует, что $$ KM = BC\cdot \frac{AM}{AC}, $$ а из подобия треугольников AMD и CMB $$ \frac{AM}{AC} = \frac{AD}{AD + BC}. $$ Поэтому $$ KM = BC\cdot\frac{AD}{AD + BC} = R. $$

Поскольку AB = 2R, то $$ S = S(AMB) = \frac{1}{2}AB\cdot KM = \frac{1}{2}\cdot 2R\cdot R = R^{2}. $$ Следовательно, $$R = \sqrt{S}$$.

ссылка

отвечен 13 Май '13 17:31

изменен 14 Май '13 14:09

Спасибо за решение. Почти разобралась. Один момент не ясен: как получилось отношение из подобия треугольников АМД и ВМС

(13 Май '13 18:45) Ирина Иващенко

@Ирина Иващенко, я сейчвс добавлю рисунок, и все понятней станет.

(14 Май '13 14:11) IvanLife
10|600 символов нужно символов осталось
0

А почему треугольник COD прямоугольный?

ссылка

отвечен 25 Май '14 13:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,924

задан
13 Май '13 17:04

показан
4666 раз

обновлен
25 Май '14 13:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru