Пусть A и B — ортогональные матрицы (не ортогональные друг другу, а просто ортогональные!). Докажите, что $%det(A^{t}B-B^{t}A)=det(A+B)det(A-B)$% $$ $$ Попытка доказательства: $%(A^{t}+B^{t})(B-A)=A^{t}B-A^{t}A+B^{t}B-B^{t}A=A^{t}B-B^{t}A$%(так как A и B ортогональные) Тогда, $%det(A^{t}B-B^{t}A)=det((A^{t}+B^{t})(B-A))=det(A^{t}+B^{t})det(B-A)=det(A+B)det(B-A)$% Получается, что $%det(A-B)=det(B-A)$%? Но непонятно почему это так, ведь $%det(A-B)=(-1)^ndet(B-A)$%, где n это размер матриц, значит это равенство выполняется только при четном n.

задан 11 Мар 12:14

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если бы умножали $%(A^T-B^T)(A+B)$%, то сразу получили бы желаемое...

А по вопросу, то очевидно, что $%(A^TB-B^TA)^T=B^TA-A^TB$%... то есть при нечётном $%n$% определитель из левой части равенства равен нулю...

ссылка

отвечен 11 Мар 15:54

@all_exist: я смотрел это условие в перерыве между лекциями, и мне сначала подумалось, что в условии перепутали члены разности. Потом я увидел, что при другом порядке будет всё то же самое. Только потом я осознал, что для матриц нечётного порядка у AB^{-1} будет собственное значение 1 или -1, откуда следует, что A+B или A-B вырождена, что сходу не так очевидно (по крайней мере, я этого факта не знал).

(11 Мар 22:12) falcao
1

@falcao, да, достаточно примечательный факт ... наверное таких фактов много, просто они редко используются, поэтому редко попадаются на глаза...

(11 Мар 23:21) all_exist

@all_exist: да, согласен. В линейной алгебре не раз попадалось что-то такое, что выглядит "контр-интуитивно".

(11 Мар 23:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,076
×347
×88

задан
11 Мар 12:14

показан
47 раз

обновлен
11 Мар 23:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru