Пусть $%M_1,M_2\subset M$% - подмодули, $%M'=M_1\cap M_2$%. Доказать, что $%Ass (M/M')\subset Ass(M/M_1)\cup Ass(M/M_2)$%

(Ass(M)=множество простых идеалов, равных аннулятору некоторого элемента M)

Может, как-то эту теорему использовать надо? http://funkyimg.com/i/2SgM6.png

задан 12 Мар 22:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%P$% -- простой идеал кольца $%R$%, являющийся аннулятором некоторого элемента $%m+M'\in M/M'$%. Тогда $%r\in P$% равносильно $%rm\in M'=M_1\cap M_2$%. В частности, $%r$% принадлежит аннулятору как $%m+M_1$%, так и $%m+M_2$%. Это значит, что $%P\subseteq{\rm Ann\,}(m+M_i)$% при $%i=1,2$%.

Если $%P$% совпадает хотя бы с одним из этих аннуляторов, то он является ассоциированным идеалом для $%M/M_1$% или $%M/M_2$%, и тогда всё доказано. Предположим, что $%P$% собственно содержится в каждом из двух аннуляторов. Тогда существуют $%r_i\notin P$% такие, что $%r_i\in{\rm Ann\,}(m+M_i)$% при $%i=1,2$%.

Последнее означает, что $%r_im\in M_i$% при каждом $%i$%, откуда $%r_1r_2m\in M_1\cap M_2=M'$%, так как $%M_i$% -- подмодули. Тем самым, $%r_1r_2\in{\rm Ann\,}(m+M')=P$%. Ввиду простоты идеала $%P$%, имеем $%r_1\in P$% или $%r_2\in P$%, что противоречит сказанному в предыдущем абзаце.

ссылка

отвечен 12 Мар 23:04

Связанный вопрос: какой есть пример короткой точной последовательности $%0\to A\to B\to C\to 0$% конечно порожденных абелевых групп, такой что Ass(B) собственно содержится в объединении Ass(A) u Ass(C)? (Такое включение всегда есть, согласно ссылке из вопроса, но как найти пример, когда включение не собственное?)

(2 Апр 0:26) Slater

Например, подойдет ли A=2Z, B=Z, C=Z/2Z и отображения включения и факторизации? Тогда Ass(Z)=Ass(2Z)=пустое множество, а Ass(C) состоит из одного идеала (2).

(3 Апр 4:33) Slater

@Slater: по-моему, подходит.

(3 Апр 11:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,150

задан
12 Мар 22:28

показан
103 раза

обновлен
3 Апр 11:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru