Дано уравнение: $% | sin(3x+4y) | + | cos(3y-4x) | +2= \frac{8a}{ a^{2} +4} $%

$%1$%). Найти значения параметра $%a$%, при которых данное уравнение имеет решения.

$%2$%). Найти эти решения.

$%3$%). Найти минимальный радиус любой окружности, в которую будет входить хотя бы одно решение данного уравнения.

Я решал следующим образом: Сначала преобразовал уравнение: $% | sin(3x+4y) | + | cos(3y-4x) | +2-\frac{8a}{ a^{2} +4}=0 $%

$% | sin(3x+4y) | + | cos(3y-4x) | + \frac{ 2(a-2)^{2} }{ a^{2}+4 } =0 $% Сумма трёх неотрицательных слагаемых равна нулю, если они все одновременно равны нулю, получаем систему: $%sin(3x+4y)=0$%;

$%cos(3y-4x)=0$%;

$%\frac{ 2(a-2)^{2} }{ a^{2}+4 } =0 $%.

Получим: $%a=2$%; $%x= \frac{-2 \pi }{25}+ \frac{ \pi }{25} (3n-4k)$%; $%y= \frac{3 \pi }{50}+ \frac{ \pi }{25} (4n+3k)$%

Таким образом. на первые два вопроса задачи ответили, но что делать, чтобы ответить на 3 вопрос вообще ума не приложу. У нас есть, например, частное решение уравнения точка с координатами: $%(\frac{-2 \pi }{25}; \frac{3 \pi }{25}$%) и вокруг неё можно провести окружность какого угодно малого радиуса и получится, что хотя бы одно решение будет входить в эту окружность. Или я чего-то не понимаю? Заранее благодарен. С уважением.

задан 13 Мар 0:32

изменен 14 Мар 0:31

1

@serg55: решения образуют решётку на плоскости. В пункте 3 надо найти минимальное r такое, что любой круг радиусом r будет содержать хотя бы одну точку такой решётки. Думаю, там просто формулировка неаккуратная. Слово "любой" расположено не там, где надо, и слово "входить" недостаточно уместно, так как имеется в виду нахождение в круге, а не на окружности.

(13 Мар 1:17) falcao

@falcao: Если я правильно понял Вас, то получается следующее. Я думаю, что $%(4n+3k)$% и $%(3n-4k)$% можно заменить одной буквой, т.к. $%n; k \in Z$% и тогда получаться решения $%x= \frac{-2 \pi }{25}+ \frac{ \pi }{25}m$%; $%y= \frac{3 \pi }{50}+ \frac{ \pi }{25} l$%. Тогда как Вы и сказали решения образуют решётку, где расстояние между узлами решётки по горизонтали и вертикали равны $%\frac{ \pi }{25}$%- это период решений, а по диагонали расстояние между узлами равно $% \frac{ \pi \sqrt{2} }{25} $% и тогда диаметр круга должен быть не меньше этой величины (продолжение следует)

(13 Мар 14:49) serg55

@falcao: и тогда хотя бы одно решение будет входить в него, где бы круг не располагался. Тогда искомый минимальный радиус равен $% \frac{ \pi \sqrt{2} }{50} $%. Правильно ли я всё понял? Или опять где-то ошибся? Заранее благодарен. С уважением.

(13 Мар 14:54) serg55

@serg55: насчёт решётки я описал общую идею, но надо смотреть, из чего она состоит. То, что можно заменить, не всегда верно. Система 4n+3k=p, 3n-4k=q не всегда имеет целые решения относительно n,k. Надо решить в буквенном виде, и найти условие на p,q.

(13 Мар 15:32) falcao

@falcao: Извините, пожалуйста, но я не понимаю как найти условия на $%p$% и $%q$%, и как эти условия будут выглядеть, и как это потом отразиться на решении. Наверное, тупой. Не могли бы Вы, если это Вас не очень затруднит, подробнее расписать этот момент. Заранее благодарен. С уважением.

(13 Мар 18:16) serg55

@serg55: есть система из двух уравнений от двух неизвестных. Надо её решить обычным школьным методом, то есть методом исключения неизвестных. Складывая уравнения, имеем следствие 7n-k=p+q, откуда k=7n-p-q выражается через n. Подставляем в первое уравнение: 4n+3(7n-p-q)=p, и выражаем n через параметры p,q. Поскольку n целое, это даст условие делимости некоторого числа на 25.

(13 Мар 22:15) falcao

@falcao: Извините за бестолковость,но очень хочется разобраться полностью. Делая как Вы объяснили, я получил $%n= \frac{4p+3q}{25} $% и $%k= \frac{3p-4q}{25}$%. Выражения $%\frac{4p+3q}{25} $% и $%\frac{3p-4q}{25}$% полностью совпадают с теми выражениями, которые в ответе ($%\frac{4n+3k}{25} $% и $%\frac{3n-4k}{25}$%, только буквы другие) и тогда получается. что вместо периодов в ответе можно поставить просто $%n$% и $%k$%? И тогда получаться решения: $%x= \frac{-2 \pi }{25}+ \pi n$%; $%y= \frac{3 \pi }{50}+ \pi k $% Или я опять ничего не понял? Заранее благодарен. С уважением.

(13 Мар 23:22) serg55
1

@serg55: я думаю, концовка решения должна быть такой. Для начала надо исправить опечатку в формуле для y в основном тексте: там k и n поменялись местами. Свободные члены из выражений можно убрать, если сдвинуть начало координат. Далее, можно убрать множитель п/25, учтя его в конце. Останутся точки вида (3n-4k,4n+3k)=n(3,4)+k(-4,3). Построим решётку на векторах (3,4) и (-4,3). Она состоит из квадратов со стороной 5, повёрнутых на какой-то угол. Минимальным радиусом круга, гарантирующим наличие точки решётки, будет радиус описанного круга 5sqrt(2). Его надо умножить на п/25, и будет пsqrt(2)/5.

(14 Мар 0:03) falcao

@falcao: Огромное спасибо! Кажется понял. Проверю насколько понял на другой задаче. Опечатку в формуле для $%y$% в основном тексте исправил. С уважением.

(14 Мар 0:43) serg55
1

@falcao: Извините, пожалуйста, но по-моему у Вас опечатка. У Вас написано, что радиус описанного круга равен $%5 \sqrt{2}$%, но это диаметр описанного круга, а радиус равен $% \frac{5 \sqrt{2} }{2} $% и тогда ответ будет $% \frac{ \pi \sqrt{2} }{10} $%. Или я опять где-то ошибся? Заранее благодарен. С уважением.

(14 Мар 16:40) serg55
1

@serg55: да, тут действительно надо на 2 разделить.

(14 Мар 16:42) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,248

задан
13 Мар 0:32

показан
66 раз

обновлен
14 Мар 16:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru