Доказать, что $%(\{f_i\})=(1)\implies(\{f_i^{n_i}\})=(1)$%

То есть если $%f_i$% порождают единичный идеал, то $%f_i^{n_i}$% тоже порождают единичный идеал для любых $%n_i> 0$%

задан 13 Мар 0:48

И побочный вопрос: из $%(\{f_i\})=(1)$% следует, что $%(1)=\{g_i\}$% где $%\{g_i\}$% - некоторое конечное подмножество $%\{f_i\}$%? Доказательство: 1 представляется как конечная комбинация элементов $%g_1,\dots,g_l\in \{f_i\}$%. Они порождают тот же единичный идеал.

(13 Мар 0:51) Slater

@Slater: да, конечно ("принцип компактности").

(13 Мар 3:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Скажем, что элемент коммутативного кольца раскладывается по другим элементам, если он представляется в виде их линейной комбинации с коэффициентами из кольца.

Индукцией по d докажем, что 1 раскладывается по мономам степени d от переменных f(i). При d=1 это дано в условии. Предположим, что это верно для некоторого d. Домножая разложение 1 на f(i), получаем разложение f(i) по мономам степени d+1. Подставляя в разложение 1 по элементам f(i) их разложения по мономам (d+1)-й степени, имеем требуемое разложение единицы.

Беря d > (n(1)-1)+...+(n(k)-1), имеем в любом мономе степени d некоторый делитель вида f(i)^{n(i)}, то есть 1 по ним раскладывается.

ссылка

отвечен 13 Мар 3:12

Последний абзац не очень понятен. Я попробовал разобрать пример. Скажем, $%1=f_1^3f_2^5f_3^6+f_1^2f_2^{12}$% то есть $%k=2$%. Пусть $%n_1=8, n_2=7$%. $%d=14 > (8-1)+ (7-1)$% но $%f_1^8$% в разложении нет.

Если $%k$% - это не число слагаемых в разложении единицы, а число $%f_i$%, то пусть $%n_1=6,n_2=5,n_3=2$%, и та же проблема.

(13 Мар 4:21) Slater

@Slater: изначально известно, что в разложении 1 участвуют какие-то f(1), ... , f(k). Допустим, что есть моном от этих переменных, не делящийся ни на одно из f(1)^{n(1)}, ... , f(k)^{n(k)}. Тогда степень по переменной f(i) не больше n(i)-1, а общая степень монома не больше (n(1)-1))+...+(n(k)-1). У нас d больше этой величины, что от противного доказывает, что всякий моном степени d содержит одно из f(i)^{n(i)}.

В Вашем примере годится i=2: оба монома в разложении содержат f2^5.

(13 Мар 9:34) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,045

задан
13 Мар 0:48

показан
29 раз

обновлен
13 Мар 9:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru