alt text

задан 13 Май '13 18:08

10|600 символов нужно символов осталось
2

Представим число $%1+xi$% в тригонометрической форме: $$1+xi=\sqrt{1+x^2}\left(\frac1{\sqrt{1+x^2}}+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}i\right)=\sqrt{1+x^2}(\cos\varphi+i\sin\varphi),$$ где $%\varphi$% -- угол с заданными косинусом и синусом (ясно, что такой угол всегда существует, так как точка с соответствующими координатами лежит на единичной окружности). Понятно также, что $$1-xi=\sqrt{1+x^2}(\cos\varphi-i\sin\varphi),$$ откуда $$\frac{1+xi}{1-xi}=\frac{\cos\varphi+i\sin\varphi}{\cos\varphi-i\sin\varphi}=\cos2\varphi+i\sin2\varphi,$$ и при возведении в $%n$%-ю степень по формуле Муавра получается $$\left(\frac{1+xi}{1-xi}\right)^n=\cos2n\varphi+i\sin2n\varphi.$$ Аналогично, в правой части после домножения числителя и знаменателя на $%\cos\alpha\ne0$%, имеем $$\frac{1+i{\mathop{\rm tg\ }}\alpha}{1-i{\mathop{\rm tg\ }}\alpha}=\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha}{\cos\alpha-i\sin\alpha}=\cos2\alpha+i\sin2\alpha.$$ Сравнивая полученные тригонометрические формы, имеем $%2n\varphi=2\alpha+2\pi k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%. Отсюда $$x={\mathop{\rm tg\ }}\varphi={\mathop{\rm tg\ }}\frac{\alpha+\pi k}{n},$$ где в последней формуле можно считать, что $%k=0,1,\ldots,n-1$% ввиду периодичности тангенса. Все $%n$% значений для $%x$%, даваемых этой формулой, попарно различны, то есть уравнение имеет ровно $%n$% решений для любого заданного $%\alpha$%.

Обратим внимание на следующее обстоятельство логического характера. Наше рассуждение показывает, что если $%x$% является решением исходного уравнения, то оно имеет тот вид, который указан в ответе. Однако надо обосновать и обратное утверждение. Здесь нужно иметь в виду, что если мы положим $%\varphi=\frac{\alpha+\pi k}n$%, то из условия, что $%x$% равен тангенсу $%\varphi$%, вообще говоря, не следует, что $%\cos\varphi=1/\sqrt{1+x^2}$% и $%\sin\varphi=x/\sqrt{1+x^2}$%. Это верно лишь с точностью до знака. Поэтому для того, чтобы рассуждение работало и в обратную сторону, мы должны заметить, что это не влияет на результат, так как знак сменится одновременно для $%1+xi$% и $%1-xi$%. Можно было также изначально заменить $%\varphi$% на $%\varphi+\pi$%, не меняя тангенс, но добиваясь положительности косинуса.

ссылка

отвечен 13 Май '13 19:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×483

задан
13 Май '13 18:08

показан
616 раз

обновлен
13 Май '13 19:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru