|
Уравнение $%x^2+px+q=0$% имеет корни $%x_1$% и $%x_2$%, а уравнение $%y^2+ry+s=0$% имеет корни $%y_1$%, $%y_2$%.Выразить $%(y_1-x_1)(y_2-x_1)(y_1-x_2)(y_2-x_2)$% через $%p,q,r,s$%. задан 13 Май '13 18:39 
денис |
|
Легко видеть, что $%(t-x_1)(t-x_2)=t^2-(x_1+x_2)t+x_1x_2=t^2+pt+q$% при любом $%t$% из соображений теоремы Виета. Поэтому $%(y_1-x_1)(y_2-x_1)(y_1-x_2)(y_2-x_2)$% можно перегруппировать как $$(y_1-x_1)(y_1-x_2)\cdot(y_2-x_1)(y_2-x_2)=(y_1^2+py_1+q)(y_2^2+py_2+q).$$ Теперь достаточно выразить полученное произведение через $%y_1+y_2=-r$% и $%y_1y_2=s$%. Заметим, что $%y_1^2+y_2^2=(y_1+y_2)^2-2y_1y_2=r^2-2s$%, откуда после раскрытия скобок имеем $$y_1^2y_2^2+py_1y_2(y_1+y_2)+q(y_1^2+y_2^2)+pq(y_1+y_2)+p^2y_1y_2+q^2,$$ то есть $$s^2-prs+q(r^2-2s)-pqr+p^2s+q^2.$$ Полученное выражение называется в алгебре результантом многочленов $%x^2+px+q$% и $%y^2+ry+s$%. Оно обращается в ноль тогда и только тогда, когда эти многочлены обладают общим корнем. отвечен 13 Май '13 19:31 
falcao |